Integrale definito

Interpretazione grafica

L'area del settore circolare è un quarto dell'area di circonferenza di raggio r=4. In particolare

$A = \frac{\pi r^4}{4} = 4\pi $ 

Calcolo integrale

$\int_0^4 \sqrt{16-x^2} \, dx =$

$ = \int_0^4 4\sqrt{1-(\frac{x}{4})^2} \, dx =$      per sostituzione

poniamo $ x = 4sint \; ⇒ \; dx = 4cost \, dt \; ⇒ \; t = arcsin(\frac{x}{4}) $

Sviluppiamo dapprima l'indefinito per alleggerire la notazione

$ = \int 4\sqrt{1-sin^2 t}\, 4\,cost \, dt =$

$ = 16 \int cos^2t \, dt =$

integrale noto

$ 16 \frac{1}{2} [ t + \frac{1}{2}sint \cdot cost] $

$ 8 [ arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2}\frac{x}{4} \cdot \sqrt{(1-\frac{x}{4})^2}] + c$

passiamo al definito

$= \left. 8 [ arcsin (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2}\frac{x}{4} \cdot \sqrt{(1-\frac{x}{4})^2}] \right|_0^4 =$

$ = 8 \cdot \frac{\pi}{2} + 0 - 0-0 = 4\pi$