Integrale definito

Determiniamo dapprima l'indefinito per concludere con il calcolo del definito

$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} \, dx =$ 

Si fa per sostituzione (trig sub) da applicare nei casi dove compare il termine $ \sqrt{a^2-x^2} $

Poniamo $ x = 2sin t \; ⇒ \; dx = 2cos t\,dt$

$ = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}} \, dx =$

$ = \frac{1}{2} \int \frac{4sin^2 t}{\sqrt{1-(sin^2 t)}} 2 cos t\, dt =$

$ =  4\int \frac{sin^2 t}{\sqrt{1-(sin^2 t)}} cos t\, dt =$

$ = 4 \int sin^2 t \, dt =$

solito integrale noto

$ = 4 \frac{1}{2} (t - \frac{1}{2}sint \cdot cos t) +c =$

$ = 2 (arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}sin(2arcsin (\frac{x}{2})) +c =$

ora possiamo ritornare al definito

$ \left. 2 (arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}sin(2arcsin (\frac{x}{2})) \right|_0^1 =$

$ \left. 2 arcsin (\frac{x}{2}) - sin(2arcsin (\frac{x}{2})) \right|_0^1 =$

$ = 2\frac{\pi}{6} - sin(\frac{\pi}{3}) = $

$ = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$