X SOSTITUZIONE.
Spiegare il ragionamento e argomentare.
X SOSTITUZIONE.
Spiegare il ragionamento e argomentare.
6284
punti
Livello 2
Risolviamo dapprima l'indefinito.
$ \int \frac{1}{e^x+1} \, dx =$ per sostituzione
poniamo $ t = e^x + 1 \; ⇒ \; e^x = t - 1 \; ⇒ \; e^x dx = dt \; ⇒ \; $
$dx = \frac{1} {t-1} dt $
$ = \int \frac{1}{t(t-1)} \, dt =$
Decomponiamo l'integranda. Pochi passaggi e si arriva a
$ = - \int \frac{1}{t} \, dt + \int \frac{1}{t-1} \, dt =$
$ = ln|t-1| - ln|t| + c = $
ritornando alla variabile originaria
$ = lne^x - ln(e^x +1) + c =$
$ = x - ln(e^x+1) + c$
Passiamo al definito
$\int_{-1}^0 \frac{1}{e^x+1} \, dx =$
$= \left. x - ln(e^x+1) \right|_{-1}^0 =$
$ = -ln(2) + 1+ln(\frac{1}{e}+1) =$
$ = -ln(2) + ln e+ln(\frac{1+e}{e}) =$
$ = -ln(2) + ln(1+e) $
14161
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Livello 5