Integrale

Integrazione per parti:

   Ricordiamo la formula dell'integrazione per parti: ∫ u dv = uv - ∫ v du

   Scegliamo:

   * u = cos^3(x) (la parte che deriviamo)

   * dv = sin(x) dx (la parte che integriamo)

     Derivando u e integrando dv otteniamo:

   * du = -3cos^2(x) * sin(x) dx

   * v = -cos(x)

   Applicando la formula:

   ∫ sin(x) * cos^3(x) dx = -cos^4(x) - ∫ (-3cos^2(x) * sin(x)) * (-cos(x)) dx

* Semplificazione:

   ∫ sin(x) * cos^3(x) dx = -cos^4(x) + 3∫ cos^3(x) * sin(x) dx

   Notiamo che l'integrale a destra è lo stesso dell'integrale di partenza!

* Risolvere l'equazione integrale:

   Possiamo scrivere l'equazione come:

   I = -cos^4(x) + 3I

   Dove I rappresenta l'integrale originale.

   Risolvendo per I:

   2I = -cos^4(x)

   I = -1/2 * cos^4(x)

Risultato finale:

∫ sin(x) * cos^3(x) dx = -1/2 * cos^4(x) + C

Dove C è la costante di integrazione.