Mi aiutate a risolvere l'integrale fra 0 e pi/2 di
((3 + sin t) sin 2t) / (1+ sin^2 t)
GRAZIEEEEEEEE
Mi aiutate a risolvere l'integrale fra 0 e pi/2 di
((3 + sin t) sin 2t) / (1+ sin^2 t)
GRAZIEEEEEEEE
Problema:
Si risolva il seguente integrale:
$\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{(3+\sin t)\sin 2t}{1+\sin² t})dt$
Soluzione:
$\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{(3+\sin t)\sin 2t}{1+\sin² t})dt=\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{3\sin 2t}{\cos² t})dt-\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{2(1-\cos² t)}{\cos t})dt$
Per risolvere il primo integrale è opportuno procedere per sostituzione:
$u=\cos² t$
$du=\sin 2t dt$
$-\int (\frac{3du}{u})-\int(\frac{2(1-\cos² t)}{\cos t})dt= 3 \ln |u| - 2 \int (\frac{1}{\cos t})dt +2\int (\cos t)dt=3 \ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t+c$
Ossia
$[3\ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t]_{0}^{\frac{π}{2}}$
Poiché per $t=\frac{π}{2}$ si hanno ambiguità è necessario risolvere:
$\lim_{a \rightarrow \frac{π}{2}}[3\ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t]_{0}^{a}=\lim_{a \rightarrow \frac{π}{2}}(3\ln \cos² a + \ln|\frac{\sin a -1}{\sin a+1}|+2\sin a)=-∞$
Ricontrolli i conti.
La mia idea è questa.
Sin 2t = 2 sin t cos t
per cui ti trovi R(sin t) cos t dt
ovvero R(sin t) d sin t
in cui R e' una funzione razionale.
Ti lascio i calcoli.