[Risolto] INTEGRALE

Problema:

Si risolva il seguente integrale:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{(3+\sin t)\sin 2t}{1+\sin² t})dt$

Soluzione:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{(3+\sin t)\sin 2t}{1+\sin² t})dt=\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{3\sin 2t}{\cos² t})dt-\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{2(1-\cos² t)}{\cos t})dt$

Per risolvere il primo integrale è opportuno procedere per sostituzione:

$u=\cos² t$

$du=\sin 2t dt$

$-\int (\frac{3du}{u})-\int(\frac{2(1-\cos² t)}{\cos t})dt= 3 \ln |u| - 2 \int (\frac{1}{\cos t})dt +2\int (\cos t)dt=3 \ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t+c$

Ossia 

$[3\ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Poiché per $t=\frac{π}{2}$ si hanno ambiguità è necessario risolvere:

$\lim_{a \rightarrow \frac{π}{2}}[3\ln \cos² t + \ln|\frac{\sin t -1}{\sin t+1}|+2\sin t]_{0}^{a}=\lim_{a \rightarrow \frac{π}{2}}(3\ln \cos² a + \ln|\frac{\sin a -1}{\sin a+1}|+2\sin a)=-∞$

Ricontrolli i conti.

La mia idea è questa.

Sin 2t = 2 sin t cos t 

per cui ti trovi R(sin t) cos t dt

ovvero R(sin t) d sin t

in cui R e' una funzione razionale.

Ti lascio i calcoli.