[Risolto] Integrale

Problema:

Si determini il seguente integrale:

$\int(e^x+\frac{1}{x})(e^x+\ln x)dx$

Soluzione:

Per trovare le primitive richieste è opportuno procedere tramite sostituzione:

$e^x+\ln x=t$ $\rightarrow (e^x+\frac{1}{x}) dx=dt$

Sostituendo si ottiene dunque:

$\int t dt=\frac{t²}{2}+c=\frac{(e^x+\ln x)²}{2}+c$

Soluzioni alternative su richiesta:

Tramite la formula fornita:

$\int [f(x)]^n f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} +c$, ove $n≠-1$

Nel caso in questione si ha: $f(x)=e^x+\ln x$ e $f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$, sostituendo si ottiene dunque:

$\int [e^x+\ln x]^(1) e^x+\frac{1}{x}dx=\frac{[e^x+\ln x]^{1+1}}{1+1} +c=\frac{(e^x+\ln x)²}{2}+c$.

Tramite il metodo per parti:

$\int(e^x+\frac{1}{x})(e^x+\ln x)dx=\int (e^{2x} + e^x \ln x + \frac{e^x}{x}+\frac{\ln x}{x})dx=\frac{e^{2x}}{2}+\int e^x(\ln x + \frac{1}{x})dx +  \frac{\ln² x}{2} +c=\frac{e^{2x}+\ln² (x)}{2}+ e^x \ln x +c=\frac{e^{2x}+2e^x \ln x + \ln² x}{2}+c=\frac{(e^x+\ln x)²}{2}+c$

Si risolve banalmente applicando il metodo per sostituzione o come conseguenza diretta del Teorema di Torricelli-Barrow:

\[\int \left(e^x + \frac{1}{x}\right) (e^x + \log{(x)})\:dx \:\Bigg|_{\phi = e^x + \log{(x)}}^{d\phi = \left(e^x + \frac{1}{x}\right)\:dx} = \int \phi\: d\phi = \frac{\phi^2}{2} + k \in \mathbb{R} =\]

\[\frac{(e^x + \log{(x)})^2}{2} + k \in \mathbb{R}\,.\]

Il primo fattore è la derivata dell'altro per cui e' immediato

1/2 ( e^x + ln x)^2 + C