Integrale

Veramente c'é un errore

S (A/(x-1) + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2+1)) dx

e corretto questo non é tanto lungo

A/(x-1) + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2 + 1) = 6/(x^4 -1)

A(x+1)(x^2+1) + B (x-1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1) = 6

Ax^3 + Ax^2 + Ax + A

Bx^3 -Bx^2 + Bx - B

Cx^3 + Dx^2 - Cx - D = 6

A + B + C = 0

A - B + D = 0

A + B - C = 0

A - B - D = 6

2(A + B) = 0

2C = 0

B = -A

C = 0

D = B - A = - 2A

A + A + 2A = 6

A = 3/2, B = -3/2, C = 0  D = -3

S [ 3/2 *1/(x-1) - 3/2 *1/(x+1) - 3/(x^2 + 1) ] dx =

= 3/2 ln |(x-1)/(x+1)| - 3 arctg* x + C

∫(6/(x^4 - 1)dx=

=6·∫(1/(x^4 - 1)dx=

=6·(∫(1/(x^2 - 1)dx/2 - ∫(1/(x^2 + 1)dx)/2) =

=6·((LN(x - 1)/2 - LN(x + 1)/2)/2 - ∫(1/(x^2 + 1)dx)/2)=

=6·(LN(x - 1)/4 - LN(x + 1)/4 - ATAN(x)/2)=

=- 3·ATAN(x) + 3·LN(x - 1)/2 - 3·LN(x + 1)/2 +C

Con la decomposizione in fratti semplici
* 1/(x^4 - 1) = - (1/2)/(x^2 + 1) - (1/4)/(x + 1) + (1/4)/(x - 1)
ci si riduce a una somma di integrali tabulati
* ∫ 6*dx/(x^4 - 1) = 6*(- ∫ (1/2)*dx/(x^2 + 1) - ∫ (1/4)*dx/(x + 1) + ∫ (1/4)*dx/(x - 1)) =
= 6*(- (1/2)*∫ dx/(x^2 + 1) - (1/4)*∫ dx/(x + 1) + (1/4)*∫ dx/(x - 1)) =
= 6*(- (1/2)*arctg(x) - (1/4)*ln(x + 1) + (1/4)*ln(x - 1)) =
= - (3/2)*(2*arctg(x) + ln((x + 1)/(x - 1)))
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"Il mio calcolo è troppo lungo, esiste un modo più intelligente?"
Non credo che consultare tavole sia più intelligente del reinventarsi le cose, però mi pare più breve.