Integrale

Question

[attach]104879[/attach] [attach]104880[/attach] Spiegare il ragionamento e i passaggi.

cmc · Accepted Answer

Ricordiamo che l'integrale seguente si risolve per parti

$ \int arctan(x) dx = $

per cui

$ = x \cdot arctan(x) - \int \frac{x}{x^2+1} \, dx =$

rendiamolo immediato

$ = x \cdot arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx =$

$ = x \cdot arctan(x) - \frac{1}{2} ln(x^2+1) + c $

Fatta questa premessa

$ F(x) = \int_1^x arctan(t) \, dt $

$= \left. t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2} ln(t^2+1) \right|_1^x $

$= x \cdot arctan(x) - \frac{1}{2} ln(x^2+1) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} ln(2) $

$= x \cdot arctan(x) - \frac{1}{2} ln(\frac{x^2+1}{2}) - \frac{\pi}{4} $

cmc

(@cmc)

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17/02/2025 09:16