Integrale

a. E' un problema di ricerca di minimo della funzione p(t), dove

$ p(t) = 20+0.3t +3e^{2-0.1t} $

Determiniamo la derivata prima

$ p'(t) = 0.3 - 2.22e^{-0.1t} $

gli eventuali punti stazionari

$ p'(t) = 0 \; ⇒ \; e^{-0.1t} = \frac{3}{22.2} $

ovvero

$ -0.1t = ln( \frac{3}{22.2}) $

$ -0.1t = -2 $

$ t = 20 $  cioè al 20° mese. Ma è un minimo?, un massimo ? un flesso?

Conviene passare alla derivata seconda

p"(t) $= 0.22e^{-0.1 t} $ 

osserviamo che la derivata seconda è positiva (la funzione è convessa) quindi si tratta di un minimo.

A partire dal 1° gennaio 2009 dopo 20 mesi (12+8 mesi) sarà Agosto 2010.

b.  Prezzo medio nei primi 24 mesi. Useremo la formula della media integrale.

$ \bar{p(t)} = \frac{\int_0^{24} 20+0.3t +3e^{2-0.1t} \, dt}{24} $  

$ \bar{p(t)} = \left. 20t +0.15t^2 -222.1e^{-0,1 t} \right|_0^{24} $

$ \bar{p(t)} = \frac{546 -(-222)}{24} $

$ \bar{p(t)} = \frac{768}{24} = 32$ €