Integrale

Per la corretta risposta alla domanda, cioè la D, sono sufficienti le ultime 5 righe. Ho ritenuto interessante descrivere come ho proceduto. Il mio obiettivo era quello di evitare il calcolo dell'integrale, lo so ci sono i  mezzi per avere la risposta diretta senza alcun sforzo, ma non sempre tali mezzi sono a disposizione. Come vedrai il mio obiettivo non è stato raggiunto visto che alla fine ho dimostrato che l'unica risposta plausibile è la D) ma senza il calcolo diretto non sono riuscito a dimostrare il valore fosse proprio 2.  

$ \int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^{+\infty} f(x) \, dx $

• L'integrale da 0 a 2 è un integrale proprio di una funzione continua e limitata, quindi è un numero reale.
• L'integrale improprio da 2 e + ∞ è convergente, infatti

dalla disequazione

$ \frac{x+1}{e^x} \le \frac{x+1}{x^3} $    valida per le x > 2

segue per la monotonia dell'integrale che 

$ \int_2^{+\infty} \frac{x+1}{e^x} \, dx  \le \int_2^{+\infty} \frac{x+1}{x^3} \, dx < +\infty$

sappiamo che il secondo integrale è convergente. 

Conclusione. L'integrale è convergente.

Per rispondere occorre specificare se l'integrale converge a 0 o a 2

• Sicuramente f(x) converge a zero per x→ + ∞
• Sicuramente l'integrale dato non può convergere a 0 visto che la funzione è positiva.
• Rimane da dimostrare che converge proprio a 2

$ \int_0^{+\infty} \frac{x+1}{e^x} \, dx = 2$      dalla definizione di integrale improprio

$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \int_0^a \frac{x+1}{e^x} \, dx $

$= \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \left. -\frac{x+2}{e^x} \right|_0^a =$

$= \displaystyle\lim_{a \to +\infty} -\frac{a+2}{e^a} + \frac{2}{e^0} = $

$= 2$