Integrale

La funzione integranda definisce una semicirconferenza con centro in (0,0) e raggio 1.

Il cerchio completo ha area A = pi*r^2=pi

quindi A/2 è l'area del semicerchio= pi/2

∫radice(1 - x^2) dx; calcolato tra - 1 e 1; (è una metà di cerchio di raggio 1)

sostituiamo x = sen(t);  dx = cos(t) dt;

radice[1 - (sen t)]^2 = (cos t);

∫cos t * cost  dt = ∫[cos(t)]^2 dt;

(cos t)^2 = [1 + cos(2t)]/2;  si ricava dalla formula di addizione:

cos(t + t) = cos^2 t - sen^2 t;

cos(2t) = cos^2 t - 1 + cos^2 t;  cos^2 t = [1 + cos(2t)] / 2;

∫[cos(t)]^2 dt = ∫[1 + cos(2t)] / 2 dt = ∫1/2 dt + ∫[cos(2t)] / 2 dt ;

1/2 t + 1/2 [sen(2t)] / 2 dt;   t = arcsen(x);

= 1/2 arcsen(x) + 1/2 sen[2 * arcsen(x)]; calcoliamo tra -1 e 1;

prima sostituiamo 1 e otteniamo + π/4 

= 1/2 (π/2) + 1/2 sen (π) + 0  = π/4 + 0 = π/4 ;  (1/4 di cerchio);

Poi sostituiamo - 1

aggiungiamo l'altro quarto di cerchio da 0 a - 1

- [1/2 arcsen(-1) + 1/2 sen[2 * arcsen(-1)] = -[1/2 (- π/2) + 0] = + π/4; 

= + π/4 + π/4 = π/2;  area di un semicerchio di raggio 1.

Risposta A   π/2

Area cerchio = π * r^2.

Ciao  @alby