Integrale

y = - x^2 - 4·x

y = x^2 + 2·x

{y = - x^2 - 4·x

{y = x^2 + 2·x

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = -3 ∧ y = 3]

Area

Integro la funzione:

- x^2 - 4·x - (x^2 + 2·x) = - 2·x^2 - 6·x

Fra x=-3 ed x = 0

∫(- 2·x^2 - 6·x) dx = - 2·x^3/3 - 3·x^2

Per x=0: 0

Per x=-3:

- 2·(-3)^3/3 - 3·(-3)^2= -9

Area = 9

Determiniamo i punti di intersezione tra le due parabole, notiamo che sta sopra e chi sta sotto nell'intervallo tra i due punti e infine calcoliamo l'area con l'integrazione definita.

1. Intersezione tra le due curve

Si ottiene sviluppando il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= -x^2-4x \\ y &= x^2+2x \end{aligned} \right. $

Le due soluzioni sono; P(-3, 3) e O(0, 0)

L'intervallo di integrazione sarà I=[-3, 0]

Ecco il grafico.

2. Sopra/ sotto

Nell'intervallo di integrazione la parabola y = -x^2-4x sta sopra

3. Calcolo dell'area

$ A = $\int_{-3}^0 -x^2-4x -x^2-2x \, dx $

$ A = $\int_{-3}^0 -2x^2-6x \, dx $

$ A = \left. -\frac{2}{3}x^3 - 3x^2  \right|_{-3}^0 $

$ A = -\frac{54}{3} +27  $

$ A = 9 $