Spiegare e argomentare.
Spiegare e argomentare.
6488
punti
Livello 2
Problema:
Verifica che $\int_0^π \frac{e^x}{e^{π-x}+e^x}dx=\frac{π}{2}$
(Calculus Competition, Youngstown University 2010)
Soluzione:
Per sostituzione $t=e^x \rightarrow dt=e^x dx$ si ottiene:
$\int_0^π \frac{e^x}{e^{π-x}+e^x}dx=\int_1^{e^π} \frac{dt}{\frac{e^π}{t}+t}=\int_1^{e^π} \frac{dt}{\frac{e^π+t²}{t}}=\int_1^{e^π} \frac{tdt}{t²+e^π}=\frac{1}{2}\int_1^{e^π} \frac{2tdt}{t²+e^π}$
Per l'integrale elementare si ha:
$\frac{1}{2}\int_1^{e^π} \frac{2tdt}{t²+e^π}=\frac{1}{2}[\ln |e^π+t²|]_1^{e^π}=\frac{π}{2}$
3550
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Livello 5
@rebc Grazie mille rebc, gentilissima come sempre.