Spiegare e argomentare.
Spiegare e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Per quale valore di $a>1$ l'integrale $\int_a^{a²} \frac{1}{x} \ln \frac{x-1}{32}dx$ assume valore minimo?
(Harvard-MIT, Mathematics Tournament 2003)
Soluzione:
Può tornare utile denominare l'integrale come $f(a)=\int_a^{a²} \frac{1}{x} \ln \frac{x-1}{32}dx=\int_0^{a²} \frac{1}{x} \ln \frac{x-1}{32}dx - \int_0^a \frac{1}{x} \ln \frac{x-1}{32}dx$.
Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale si ha: $f'(a)=\frac{2a}{a²} \ln \frac{a²-1}{32} - \frac{1}{a} \ln \frac{a-1}{32}$
Studiando il segno di f'(a) è possibile individuare il minimo:
$f'(a)≥0$ per $a≥3$, si ha dunque che il minimo si trova in $a=3$.
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Livello 5