Integrale

Ricordiamo le proprietà delle funzioni pari:
* Una funzione f(x) è pari se f(-x) = f(x) per ogni x nel dominio.
* L'integrale di una funzione pari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine è il doppio dell'integrale sullo stesso intervallo, ma con limite inferioreZero. In altre parole:
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx
Analisi del problema
* Sappiamo che f(x) è pari, quindi possiamo usare la proprietà sopra.
* Abbiamo due integrali definiti:
* \int_{1}^{3} f(x) dx = 4
* \int_{-3}^{1} f(x) dx = 7
* Vogliamo trovare il valore di:
\int_{0}^{1} f(x) dx
Risoluzione
* Consideriamo il secondo integrale dato:
\int_{-3}^{1} f(x) dx = 7
Possiamo dividerlo in due parti:
\int_{-3}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx = 7
* Poiché f(x) è pari, sappiamo che:
\int_{-3}^{0} f(x) dx = \int_{0}^{3} f(x) dx
* Quindi, possiamo riscrivere l'equazione come:
\int_{0}^{3} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx = 7
* Possiamo anche esprimere l'integrale da 0 a 3 come:
\int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{3} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx = 7
* Sappiamo che \int_{1}^{3} f(x) dx = 4, quindi possiamo sostituire questo valore nell'equazione:
2\int_{0}^{1} f(x) dx + 4 = 7
* Risolviamo per l'integrale desiderato:
2\int_{0}^{1} f(x) dx = 7 - 4
2\int_{0}^{1} f(x) dx = 3
\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{3}{2}
Conclusione
Il valore dell'integrale \int_{0}^{1} f(x) dx è \frac{3}{2}.