Integrale

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare una sostituzione trigonometrica. Poniamo:
x = sin²θ
Allora:
dx = 2sinθcosθ dθ
Quando x = 0, θ = 0.
Quando x = 1, θ = π/2.
Sostituendo nell'integrale, otteniamo:
∫₀^(π/2) √(sin²θ - 1) / sin²θ * 2sinθcosθ dθ
= 2∫₀^(π/2) cos²θ / sin²θ dθ
= 2∫₀^(π/2) cot²θ dθ
Ricordiamo che cot²θ = csc²θ - 1. Quindi:
= 2∫₀^(π/2) (csc²θ - 1) dθ
= 2[-cotθ - θ]₀^(π/2)
= 2[(-0 - π/2) - (-∞ - 0)]
= ∞
Conclusione:
L'integrale definito diverge, ovvero non ha un valore finito. Questo è dovuto al fatto che la funzione integranda ha una singolarità in x = 0, dove il denominatore si annulla.

Per sostituzione. Poniamo

$ t = \sqrt{x-1} \; ⇒ \; x = t^2+1 \; ⇒ \; dx = 2tdt $

inoltre se x = 1 allora t = 0; se x = e allora t = √(e-1)

per non appesantire la notazione, preferisco calcolare dapprima l'indefinito per poi concludere con il definito.

$ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx = $

$ = \int \frac{t}{t^2+1} \, 2t \, dt = $

$ = 2\int \frac{t^2}{t^2+1} \, dt = $

$ = 2\int \frac{t^2+1 -1 }{t^2+1} \, dt = $ 

$ = 2 ( \int 1 \, dt - \int \frac{1 }{t^2+1} \, dt) = $

$ = 2 t - 2arctan \,t + c = $

$ = 2 \sqrt{x-1} - 2 arctan (\sqrt{x-1}) + c $

Passiamo al definito

$= \left. 2 \sqrt{x-1} - 2 arctan (\sqrt{x-1}) \right|_1^e =$ 

$ = 2\sqrt{e-1} - 2arctan (\sqrt{e-1}) $