Integrale

Per confronto, possiamo affermare che l'integrale improprio è convergente. Dalla sua definizione 

$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+4x} \, dx = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \int_1^a \frac{1}{x^2+4x} \, dx $

Calcoliamo il secondo integrale, utilizzando la tecnica della decomposizione

 $ = \int_1^a \frac{1}{x^2+4x} \, dx = ⊳ $

$ \frac{1}{x^2+4x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+4} $

dalla quale ricaviamo

$ 1 = Ax+4A + Bx $

per il principio di identità dei polinomi si ottiene il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 4A &= 1 \end{aligned} \right. $

le sui soluzioni sono

$ A = \frac{1}{4} $
$ B = -\frac{1}{4}$

 L'integrale dato si riduce così alla somma

$ ⊳ = \frac{1}{4} \int_1^a \frac{1}{x} \, dx = - \frac{1}{4} \int_1^a \frac{1}{x+4} \, dx $

$= \left. \frac{1}{4} (ln(x) -ln(x+4)) \right|_1^a =$

$= \left. \frac{1}{4} ln(\frac{x}{x+4}) \right|_1^a =$

$ = \frac{1}{4} [ ln (\frac{a}{a+4} - ln (\frac{1}{5})] $

$ = \frac{1}{4} [ ln (\frac{a}{a+4} + ln(5)] $

passando al limite

$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+4x} \, dx  =$

$= \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \int_1^a \frac{1}{x^2+4x} \, dx = $

$= \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \int_1^a \frac{1}{4} [ ln (\frac{a}{a+4} + ln(5)] $ \, dx = $

$ = \frac{ln(5)}{4}$