Integrale

Funzione:
f(x) = 1 / (x² + 1)
Intervallo:
[-1, 1]
1. Calcolo del valore medio (M):
La formula per il valore medio di una funzione f(x) in un intervallo [a, b] è:
M = (1 / (b - a)) * ∫[a, b] f(x) dx
Nel nostro caso:
M = (1 / (1 - (-1))) * ∫[-1, 1] (1 / (x² + 1)) dx
M = (1 / 2) * ∫[-1, 1] (1 / (x² + 1)) dx
L'integrale di 1 / (x² + 1) è noto essere arctan(x). Quindi:
M = (1 / 2) * [arctan(x)](da -1 a 1)
M = (1 / 2) * [arctan(1) - arctan(-1)]
M = (1 / 2) * [(π / 4) - (-π / 4)]
M = (1 / 2) * (π / 2)
M = π / 4
2. Determinazione del valore c tale che f(c) = M:
Dobbiamo trovare un valore c nell'intervallo [-1, 1] tale che:
f(c) = M
1 / (c² + 1) = π / 4
Risolviamo per c:
c² + 1 = 4 / π
c² = (4 / π) - 1
c = ±√((4 / π) - 1)
Calcoliamo i valori approssimativi:
c ≈ ±√((4 / 3.14159) - 1)
c ≈ ±√(1.27324 - 1)
c ≈ ±√0.27324
c ≈ ±0.5227
Entrambi i valori di c (circa 0.5227 e -0.5227) cadono nell'intervallo [-1, 1].
Conclusione:
Il valore medio della funzione f(x) = 1 / (x² + 1) nell'intervallo [-1, 1] è π / 4. I valori di c per cui f(c) = M sono approssimativamente 0.5227 e -0.5227.