Integrale

a. Calcolo di [ \int_0^4 f(2x) , dx ]:
Eseguiamo una sostituzione di variabile:
* Poniamo [ u = 2x ]
* Allora [ du = 2 , dx ] e [ dx = \frac{1}{2} , du ]
Quando x = 0, anche u = 0.
Quando x = 4, u = 8.
Trasformiamo l'integrale:
[ \int_0^4 f(2x) , dx = \int_0^8 f(u) \cdot \frac{1}{2} , du = \frac{1}{2} \int_0^8 f(u) , du ]
Utilizziamo l'informazione che [ \int_0^8 f(x) , dx = 6 ]
[ \frac{1}{2} \int_0^8 f(u) , du = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 ]
b. Calcolo di [ \int_0^4 f\left(\frac{x}{3}\right) , dx ]:
Eseguiamo una sostituzione di variabile:
* Poniamo [ v = \frac{x}{3} ]
* Allora [ dv = \frac{1}{3} , dx ] e [ dx = 3 , dv ]
Quando x = 0, anche v = 0.
Quando x = 4, v = 4/3.
Trasformiamo l'integrale:
[ \int_0^4 f\left(\frac{x}{3}\right) , dx = \int_0^{4/3} f(v) \cdot 3 , dv = 3 \int_0^{4/3} f(v) , dv ]
Osservazione:
Non abbiamo informazioni sufficienti per calcolare [ \int_0^{4/3} f(v) , dv ]. Sappiamo solo l'integrale da 0 a 8.
Conclusione
a. L'integrale [ \int_0^4 f(2x) , dx ] è calcolabile e vale 3.
b. L'integrale [ \int_0^4 f\left(\frac{x}{3}\right) , dx ] non è calcolabile con le informazioni date.