Integrale

Problema:

Data la funzione $f(x)=\int_{-π}^{2x} t \cos³ t dt$, determina l'equazione della retta tangente al grafico $f$ nel punto di ascissa $x=\frac{π}{2}$.

Soluzione:

Una retta nel piano euclideo Oxy è definita analiticamente come $y-y_0=m(x-x_0)$, ove $m$ rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Dato che il coefficiente angolare è definito da un rapporto incrementale, è possibile individuare la funzione del coefficiente delle rette tangenti al grafico di f in ogni suo punto calcolandone la derivata.

Si ha dunque $m(x)=f'(x)=2(2x)\cos³ 2x$, poiché la richiesta di tangenza è nel punto $x=\frac{π}{2}$, è necessario calcolare $m(\frac{π}{2})=-2π$.

Da qui, tramite l'espressione analitica della retta, si arriva a definire: $y-f(\frac{π}{2})=m(\frac{π}{2})(x-\frac{π}{2}) \rightarrow y=-2πx+π²$.

Per il calcolo della derivata della funzione integrale ti rimando ad una mia precendente risposta: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/integrale-102/#post-250557