Integrale

Problema:

Data la funzione $f(x)=-1+\int_{1}^{x} (\ln² t+2)e^{-t²}dt$, determina l'equazione della retta tangente al grafico $f$ nel punto di ascissa $x=1$.

Soluzione:

Una retta nel piano euclideo Oxy è definita analiticamente come $y-y_0=m(x-x_0)$, ove $m$ rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Dato che il coefficiente angolare è definito da un rapporto incrementale, è possibile individuare la funzione del coefficiente delle rette tangenti al grafico di f in ogni suo punto calcolandone la derivata.

Si ha dunque $m(x)=f'(x)=(\ln² x +2)e^{-x²}$, poiché la richiesta di tangenza è nel punto $x=1$, è necessario calcolare $m(1)=\frac{2}{e}$.

Da qui, tramite l'espressione analitica della retta, si arriva a definire: $y-f(1)=m(1)(x-1) \rightarrow y=\frac{2}{e}(x-1)-1$.

Per il calcolo della derivata della funzione integrale ti rimando ad una mia precendente risposta: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/integrale-102/#post-250557