Integrale

Problema:

Senza determinare l’espressione analitica della funzione, calcola la derivata prima:

$f(x)=\int_{x²}^{x³} \cos t² dt$

Soluzione:

Questa tipologia di funzione è detta funzione integrale, essa, in questo caso, rappresenta il sottografico di una curva su un certo dominio di integrazione $[x²,x³]$.

La regola generale viene dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale la cui tesi è $F'(x)=f(x)$. In parole povere, per risolvere l'esercizio, si deve semplicemente prendere la funzione integranda h(t) e riscriverla sostituendo t con g(x).

Nota: se g(x) è una funzione diversa da x è necessario moltiplicare h(g(x)) per g'(x) per la regola delle derivate di funzioni composte.

In questo caso $g_1(x)=x²$ e $g_2(x)=x³$. Sempre per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che $f'(x)=g_2'(x)h(g_2(x))-g_1'(x)h(g_1(x)=3x²\cos (x⁶) -2x \cos (x⁴)$

Se vuoi approfondire il teorema ti rimando alla seguente discussione, in particolare a #4785: https://www.youmath.it/forum/analisi-1/4689-calcolare-la-derivata-di-una-funzione-integrale.html