Determinare l’insieme
A= {z ∈ C : |z| = Re z, Im (z-1/z+2) = Re((z+2/z-1)-1)}
Ps. Non credo che la parte immaginaria sia nulla, al contrario di ciò che può sembrare, in quanto, se così fosse, l'esercizio perderebbe di senso. Se svolgete infatti i calcoli, in paticolare della seconda parte, annullando la parte immaginaria, otterremo alla fine che 3=0 , e ciò è ovviamente impossibile.
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Livello 1
Non potrebbe essere l'insieme vuoto ?
|x + iy| = x significa x >= 0
x^2 + y^2 = x^2
y^2 = 0 => y = 0
Im (x-1)/(x+2) = 0
Re (x+2)/(x-1) = (x+2)/(x-1)
(x + 2)/(x - 1) - 1 = 0
x + 2 = x - 1
2 = -1
impossibile.
Allora x non esiste e A é vuoto.
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Livello 7
Secondo me, credi male: la parte immaginaria deve essere nulla.
|z| è ipotenusa di un triangolo che ha cateti |Re[z]| e |Im[z]| e, a mio parere, l'ipotenusa coincide con un cateto solo in un triangolo rettangolo degenere per azzeramento dell'altro cateto.
Pertanto Im[z] = 0 e, per z = x + i*y, si ha
A = {z ∈ C : |z| = Re[z], Im[(z - 1)/(z + 2)] = Re[(z + 2)/(z - 1) - 1)]} =
= {x ∈ R : x > 0, Im[(x - 1)/(x + 2)] = Re[(x + 2)/(x - 1) - 1)]} =
= {x ∈ R : x > 0, 0 = (x + 2)/(x - 1) - 1} =
= {x ∈ R : x > 0, 0 = 3/(x - 1)} = Ø
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Genius I
