Ciao! Partiamo con una definizione
Definizione di insieme aperto in $\mathbb{R}^2$
Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^2$ è aperto se per ogni punto $x \in A$, esiste un raggio $r > 0$ tale che il disco aperto di centro $x$ e raggio $r$, denotato con $B(x, r) = \{y \in \mathbb{R}^2 : ||x - y|| < r\}$, è interamente contenuto in $A$. In altre parole, ogni punto di $A$ ha un "margine di manovra" all'interno di $A$.
Ora consideriamo le opzioni che ti sono state proposte:
- "non è chiuso": Questa condizione è necessaria ma non sufficiente. Un insieme aperto non è chiuso, ma un insieme che non è chiuso potrebbe non essere aperto (potrebbe essere "né aperto né chiuso").
- "$\mathbb{R}^2 \setminus A$ è compatto": Questa dovrebbe essere la risposta corretta. Ricorda che un insieme in $\mathbb{R}^2$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel. Se $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è compatto, allora è chiuso e limitato. Questo implica che $A$ è aperto. Per capirlo, supponiamo per assurdo che $A$ non sia aperto.
Supponiamo per assurdo che $A$ non sia aperto. Allora esiste un punto $x \in A$ tale che per ogni $r > 0$, il disco aperto $B(x, r)$ non è interamente contenuto in $A$. Cioè, per ogni $r > 0$, esiste un punto $y \in B(x, r)$ tale che $y \in \mathbb{R}^2 \setminus A$. Consideriamo una successione di raggi $r_n = \frac{1}{n}$ per $n \in \mathbb{N}$. Per ogni $n$, esiste un punto $y_n \in B(x, r_n)$ tale che $y_n \in \mathbb{R}^2 \setminus A$. Quindi, abbiamo una successione $\{y_n\}$ in $\mathbb{R}^2 \setminus A$. Poiché $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è limitato, la successione $\{y_n\}$ è limitata. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione convergente $\{y_{n_k}\}$ che converge a un punto $y \in \mathbb{R}^2$.
Poiché $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è chiuso, il limite di ogni successione convergente in $\mathbb{R}^2 \setminus A$ deve essere in $\mathbb{R}^2 \setminus A$. Quindi, $y \in \mathbb{R}^2 \setminus A$.
Ora, consideriamo la distanza tra $x$ e $y$:
$||x - y|| = ||x - \lim_{k \to \infty} y_{n_k}|| = \lim_{k \to \infty} ||x - y_{n_k}||$
Poiché $y_{n_k} \in B(x, r_{n_k})$, abbiamo $||x - y_{n_k}|| < r_{n_k} = \frac{1}{n_k}$. Quindi,
$||x - y|| = \lim_{k \to \infty} ||x - y_{n_k}|| \leq \lim_{k \to \infty} \frac{1}{n_k} = 0$
Quindi, $||x - y|| = 0$, il che implica che $x = y$. Ma $x \in A$ e $y \in \mathbb{R}^2 \setminus A$, il che è una contraddizione.
Quindi, la nostra supposizione che $A$ non sia aperto è falsa. Pertanto, $A$ deve essere aperto.
- "il suo complementare non è aperto": Questa condizione è vera se $A$ è aperto, ma non è sufficiente per definire un insieme aperto. Ci sono insiemi il cui complementare non è aperto, ma che non sono aperti essi stessi.
- "anche il suo complementare non è aperto": Questa è chiaramente falsa. Un insieme e il suo complementare non possono essere entrambi aperti (a meno che l'insieme non sia vuoto o l'intero spazio).
- "il suo complementare non è aperto": Questa condizione è vera se AA A è aperto, ma non è sufficiente per definire un insieme aperto.
- "anche il suo complementare non è aperto": Questa è chiaramente falsa. Un insieme e il suo complementare non possono essere entrambi aperti (a meno che l'insieme non sia vuoto o l'intero spazio).
Il tuo esempio del cerchio
Se $A$ è un cerchio aperto (cioè, senza la circonferenza), allora $A$ è aperto. Il suo complementare, $\mathbb{R}^2 \setminus A$, è l'unione di:
1. l'esterno del cerchio (che è un insieme aperto)
2. la circonferenza (che è un insieme chiuso e limitato)
Quindi, $\mathbb{R}^2 \setminus A$ non è limitato (perché si estende all'infinito all'esterno del cerchio) e quindi non è compatto. Questo esempio non contraddice la risposta corretta, ma illustra perché la compattezza del complementare è una condizione *sufficiente* per l'apertura dell'insieme originale.
Perché "$\mathbb{R}^2 \setminus A$ è compatto" implica che $A$ è aperto?
Se $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è compatto, allora è chiuso e limitato. Poiché $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è chiuso, il suo complementare, che è $A$, deve essere aperto.
Per questo la risposta corretta è che un insieme $A$ in $\mathbb{R}^2$ è aperto se $\mathbb{R}^2 \setminus A$ è compatto. La compattezza del complementare implica che il complementare è chiuso, il che a sua volta implica che l'insieme originale è aperto.
Spero di essermi spiegato 🙂
