[Risolto] Info parabola

Caro Aladin, non è un caso se il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito, che tu evidentemente non ti sei ancora dato la pena di leggere, prescrive di TRASCRIVERE ALLA LETTERA il testo dell'esercizio a cui fa riferimento la domanda.
SE HAI BISOGNO DI UNA RISPOSTA SIGNIFICATIVA DEVI PUBBLICARE UN PROBLEMA "BEN POSTO" come si spera che sia il testo del problema originale preso dal libro.
DEVI COPIARE L'ESERCIZIO CARATTERE PER CARATTERE.
Se invece tu ne pubblichi la tua interpretazione riassunta male, allora devi renderti conto che è l'interpretazione di una persona che non soltanto non è riuscita a risolverlo, ma nemmeno a capire quali fossero le informazioni indispensabili alla risoluzione!
Nel tuo testo ci sono un bel po' di cose equivoche, mentre nel parlare di matematica ogni frase dovrebbe avere un significato solo che appaia a prima lettura.
ESEMPI
"retta tangente rispetto a" non ha alcun significato matematico.
"Ma tangente all'asse delle x?" Qual è il soggetto sottinteso? Qual è il predicato verbale sottinteso? "tangente" è solo un participio, non basta!
E, soprattutto, "una parabola con la sua equazione" il significato matematico ce l'ha ed è
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + t = 0
che, con alta probabilità, non è nemmeno parente a quello che tu dai per sottinteso.
LA STITICHEZZA VERBALE GENERA DOMANDE CHE SEMBRANO CRETINE (e, a volte, lo sono!).
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Ti scrivo qui di seguito un tentativo di risposta, ma non a ciò che hai scritto perché ciò che hai scritto non significa nulla. Rispondo alla mia interpretazione di ciò che secondo me intendevi scrivere.
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Data l'equazione della generica parabola Γ, non degenere se e solo se "u + v != 0",
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + t = 0
si chiede di determinare:
A) la condizione per cui essa risulti tangente l'asse x ("Ma tangente all'asse delle x? Come si fa?");
B) le rette per P(5, 3) tangenti Γ.
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RISPOSTE
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A) Il sistema fra l'asse x e Γ è
* (y = 0) & ((u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + t = 0) & (u + v != 0)
con risolvente
* (u*x)^2 + r*x + t = 0
con discriminante
* Δ = r^2 - 4*t*u^2
che, per la tangenza, deve azzerarsi. Quindi la condizione di tangenza è
* (t = (r/(2*u))^2) & (u != 0)
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Tutte e sole le parabole non degeneri tangenti l'asse x sono rappresentate da
* Γ ≡ ((u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + (r/(2*u))^2 = 0) & (u != 0)
da cui si vede che:
1) nessuna può avere asse parallelo all'asse x;
2) quelle con asse parallelo all'asse y hanno la forma
* y = - ((2*u^2)*x + r)^2/(s*(2*u)^2)
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B) Le rette per P(5, 3) tangenti Γ sono le congiungenti P con i punti comuni a Γ e alla retta p, polare di P rispetto a Γ, ricavata dalla forma normale canonica di Γ per sdoppiamento.
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + t = 0 ≡
≡ (u^2)*x^2 + (2*u*v)*x*y + (v^2)*y^2 + r*x + s*y + t = 0
da cui
* p ≡ (u^2)*5*x + (2*u*v)*(3*x + 5*y)/2 + (v^2)*3*y + r*(x + 5)/2 + s*(y + 3)/2 + t = 0 ≡
≡ (r + 10*u^2 + 6*u*v)*x + (s + 10*u*v + 6*v^2)*y + (5*r + 3*s + 2*t) = 0
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Da qui in poi occorre la particolare equazione di Γ, priva di parametri, per poter proseguire.
1) Se P(5, 3) è su Γ, la polare è la tangente in P.
2) Se P(5, 3) è esterno alla conica Γ (fuori dalla concavità della parabola), la polare interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
3) Se P(5, 3) è interno alla conica Γ (nella concavità della parabola), la polare non interessa il problema delle tangenti.

Ciao @aladin

Suppongo che la traccia ti chieda una retta tangente alla parabola parallela (o perpendicolare al massimo) all'asse x, altrimenti non avrebbe molto senso.

Se così fosse, si ragiona in modo analogo al caso della tangente per P.

In questo caso, infatti, la retta che hai giustamente indicato $y-y_P = m(x-x_P)$ va poi messa a sistema con la parabola, per poi imporre che $\Delta=0$ per avere la condizione di tangenza.

Nel caso della retta parallela all'asse x, cambia solo che la retta sarà della forma $y=q$. Anche qui metti a sistema e poni $\Delta=0$

Ciao,

Noemi