Indica per quali valori di a esiste la funzione

Problema:

Indica per quali valori di $a \in \mathbb{R}$ esiste la funzione

$y=\left(\frac{a^2-4}{11-2 a}\right)^x$

e per quali valori di $a$ la funzione è crescente. Assegna poi ad $a$ i valori −5, 3, 4 e rappresenta, se è possibile, le funzioni ottenute.

Soluzione:

Poiché la funzione è un'esponenziale di una frazione, e poiché $x$ può essere anche nullo, bisogna porre:

$11-2a≠0 \rightarrow a≠\frac{11}{2}$

$0<\frac{a²-4}{11-2a}<1 \rightarrow -5<a<-2 \vee 2<a<3$

$\frac{a²-4}{11-2a}>1 \rightarrow a<-5 \vee 3<a<\frac{11}{2}$

Risulta dunque che la funzione esiste per $a<-2 \vee 2<x<\frac{11}{2}$

La funzione è crescente quando $f(x)≥0$, ossia quando {$\left(\frac{a^2-4}{11-2 a}\right)^x≥0, -5<a<-2 \vee 2<a<3, a<-5 \vee 3<a<\frac{11}{2}$ $\rightarrow a<-5 \vee 3<a<\frac{11}{2}$.

$f(-5,x)=1^x$ 

$f(3,x)=1^x$

$f(4,x)=(\frac{12}{3})^x=4^x$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

La figura ridicola del cafone rifatto o quella di don Calogero con tutte le carte in regola a cui "manca solo un attacco" per poter dichiarare sua figlia la "baronessina Sedara" sono molto migliori della figuraccia che fa chi usa LaTeχ là dove basterebbero qualche UTF8 da Copia/Incolla e qualche corsivo, offendendo così il genio di Donald Ervin Knuth che inventò Teχ come "a way to typeset complex mathematical formulae" e non "-5,3,4e" o "\left[a<-2 \vee 2<a<\frac{11}{2} ; a<-5 \vee 3<a<\frac{11}{2}\right]".
Questo testo, scritto come
«Indica per quali valori di a ∈ R esiste la funzione
* f(x) = y = ((a^2 - 4)/(11 - 2*a))^x
e per quali valori di a la funzione è crescente.
Assegna poi ad a i valori - 5, 3, 4 e rappresenta, se è possibile, le funzioni ottenute.
[a < - 2 ∨ 2 < a < 11/2; a < - 5 ∨ 3 < a < 11/2]»
non avrebbe perduto nulla come intelligibilità e, consentendo di essere trasferito con un solo Copia/Incolla nell'editor di chi risponde, avrebbe evitato ai responsori la necessità di lavorare con due window piccole anziché una sola a tutto schermo.
FINE DELLE RECRIMINAZIONI
Ogni funzione esponenziale con base ed esponente reali è definita ovunque lo siano base ed esponente e la base non sia negativa; se l'esponente è la semplice x, è crescente se e solo se la base è maggiore di uno. Nel caso in esame
1) "Indicare per quali valori di a ∈ R esiste la funzione
* f(x) = y = ((a^2 - 4)/(11 - 2*a))^x"
si ha
* (a^2 - 4)/(11 - 2*a) >= 0 ≡ a <= - 2 oppure 2 <= a < 11/2
NB: il risultato atteso "a < - 2 ∨ 2 < a < 11/2" è errato per sovrainterpretazione indebita; infatti la consegna reca solo "esiste" e non "esiste non degenere": y = 0 è una funzione esistente.
2) "per quali valori di a la funzione è crescente"
* (a^2 - 4)/(11 - 2*a) > 1 ≡ a < - 5 oppure 3 < a < 11/2
che è proprio il risultato atteso.
3) "Assegna poi ad i valori - 5, 3, 4"
La base
* b(a) = (a^2 - 4)/(11 - 2*a)
valutata su un ampio intervallo di interi, dà le seguenti coppie {a, b(a)}
* {a, b(a)} ∈ {{- 8, 20/9}, {- 7, 9/5}, {- 6, 32/23}, {- 5, 1}, {- 4, 12/19}, {- 3, 5/17}, {- 2, 0}, {- 1, - 3/13}, {0, - 4/11}, {1, - 1/3}, {2, 0}, {3, 1}, {4, 4}, {5, 21}, {6, - 32}, {7, - 15}}
fra cui quelle richieste
* {a, b(a)} ∈ {{- 5, 1}, {3, 1}, {4, 4}}
che danno luogo a
* f(- 5) = f(3) = y = (1)^x ≡ y = 1
* f(4) = y = (4)^x ≡ y = 2^(2*x)
4) "rappresenta, se è possibile, le funzioni ottenute"
Ma certo che è possibile!
http://www.wolframalpha.com/input?i=+%5By%3D1%2Cy%3D2%5E%282*x%29%5D