immagine di una funzione trigonometrica

Hai dimostrato che si tratta di una funzione periodica di periodo 2π. Bene

Consideriamo, per semplicità,  la funzione:

• f(x) = 2sin(x) + 5

E' una funzione continua, e quindi per il teorema di Weirestrass ammetterà massimo e minimo nell'intervallo [0, 2π].

Possiamo facilmente determinarli.

• max f(x) = 2*1+5 = 7 valore assunto per x = π/2
• min f(x) = 2(-1)+5 = 3 valore assunto per x = 3π/2

Vista la periodicità di f(x) tali risultati si estendono a tutto ℝ. (passaggio importante)

Allo stato attuale possiamo solo dire che immagine di f(x) in tutto ℝ è compresa tra 3 e 7.

Imm. f(x) ⊆ [3,7]

A questo punto, ci viene in soccorso il teorema dei valori intermedi (IVT). Il quale afferma che

"se la funzione è continua in un intervallo e assume due valori distinti f(a), f(b) in due punti distinti allora assumerà tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). In altre parole, nel nostro caso, assumerà tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.

Possiamo così concludere che 

Imm f(x) = [3, 7]