[Risolto] immagine di funzione

La funzione
* f(x) = y = (x^2 - 2*x)/(x^2 + 1)
è definita e continua sull'intero asse reale.
Le sue due prime derivate sono
* f'(x) = 2*(x^2 + x - 1)/(x^2 + 1)^2
* f''(x) = - 2*(2*x^3 + 3*x^2 - 6*x - 1)/(x^2 + 1)^3
da cui si trovano tre flessi a tangente obliqua (che non riguardano quest'esercizio) e due estremi relativi, un minimo e un massimo i cui valori di y costituiscono la frontiera dell'insieme immagine.
Dall'annullamento della derivata prima
* f'(x) = 2*(x^2 + x - 1)/(x^2 + 1)^2 = 0 ≡
≡ x^2 + x - 1 = 0 ≡
≡ (x = - 1/2 - √5/2) oppure (x = - 1/2 + √5/2)
si ricavano i valori
* f(- 1/2 - √5/2) = 1/2 + √5/2 ~= 1.62
* f(- 1/2 + √5/2) = 1/2 - √5/2 ~= - 0.62
QUINDI
* insieme immagine di y = (x^2 - 2*x)/(x^2 + 1): 1/2 - √5/2 <= y <= 1/2 + √5/2

Se f(x) = (x^2 - 2x)/(x^2 + 1) il dominio é R

Per l'immagine, prendiamo y in R e poniamo

(x^2 - 2x)/(x^2 + 1) = y

x^2 - 2x = yx^2 + y

(y - 1)x^2 + 2x + y = 0

Se vogliamo che x esista deve essere D/4 >= 0

1 - y(y - 1) >= 0

1 - y^2 + y >= 0

y^2 - y - 1 <= 0

y* = (1 +- rad (1 + 4))/2

Im [f] :     (1 - rad(5))/2 <= y <= (1 + rad(5))/2

Verifica

https://www.desmos.com/calculator/1vduts8u3o