[Risolto] Il Sole dista 27000 anni-luce dal centro della nostra galassia

La circonferenza dell'orbita del Sole è

\[C = 2\pi \cdot 27.000 \; \text{anni luce} = 2\pi \cdot 27.000 \cdot 9,46 \cdot 10^{15}\:m = 1,606 \cdot 10^{21}\:m\,.\]

La velocità è data da

\[v = \frac{C}{T_{orbitale}} = \frac{1,606 \cdot 10^{21}\: m}{7,88 \cdot 10^{15}\: s} = 2,04 \cdot 10^5\:m\,s^{-1}\,.\]

Per la Legge di Newton, derivante dalle Leggi di Keplero:

\[G\frac{M_{galassia} \cdot m_{Sole}}{r^2} = \frac{m_{Sole} \cdot v^2}{r} \implies M_{galassia} = \frac{v^2 r}{G}\:\Bigg|_{r = 2,55 \cdot 10^{20}\: m} \approx 1,59 \cdot 10^{41}\:kg\,.\]

Consideriamo che la massa totale della galassia è proporzionale all'area del disco su cui è distribuita; la proporzione delle aree, in anni luce, è

\[\alpha = \frac{\pi \cdot (50.000)^2}{\pi \cdot (27.000)^2} = 0,2916\,.\]

La massa totale della galassia è calcolabile come

\[M_{tot} = \frac{1,59 \cdot 10^{41}\: kg}{0,2916} \approx 5,45 \cdot 10^{41}\:kg\,.\]

N.B. Per il calcolo del periodo orbitale si è convertita la grandezza da "anni" a "secondi"; per le distanze, invece, da "anni-luce" a "metri".

Il Sole dista 27000 anni-luce dal centro della nostra galassia, e compie una rivoluzione completa intorno a esso in 250 milioni di anni. Schematizza la galassia come un disco di 100000 anni-luce di diametro e spessore trascurabile. Un anno-luce corrisponde a 9,46*10^15 m 
.

Fornisci una stima della massa totale della galassia.
Suggerimento: calcola la massa della porzione di galassia contenuta in un raggio di 27000 anni-luce e considera che la massa totale della galassia è proporzionale all'area del disco su cui è distribuita.

1 anno = 3600*24*365 = 3,1536*10^7 s 

T = 2,50*10^8 anni = 7,8840*10^15 s 

T^2 = 6,2157*10^31 s^2 

d = 2,7*10^4*9,46*10^15 = 2,5542*10^20 m 

Vo^2/d = (2,7/5)^2*MG*G/d^2

39,5*d^3/T^2 = 0,2916*MG*G

MG =39,5*2,5542^3*10^60/(0,2916*7,884^2*10^30*6,67*10^-11) = 5,444*10^41 kg

...l'equivalente di 2,722*10^11 masse solari