Il piano cartesiano

[2/3·k + 1, 2 - 2·k]

[1/3·k - 1, 4·k + 5]

{xm= (2/3·k + 1 + 1/3·k - 1)/2 = k/2

{ym= (2 - 2·k + 4·k + 5)/2 = (2·k + 7)/2

Quindi:

(2·k + 7)/2 = 4·(k/2)---> (2·k + 7)/2 = 2·k

k = 7/2

Il testo fornisce le coordinate dei punti $A$ e $B$ in funzione del parametro $k$, in particolare:

$A=(\frac{2}{3k}+1;2-2k)$

$B=(\frac{1}{3k}-1;4k+5)$

Sia $M = (M_x;M_y)$ il punto medio del segmento $\overline{AB}$, data appunto questa relazione tra $M$ e $\overline{AB}$ sappiamo che:

$\begin{equation} \begin{cases} M_x = \frac{A_x+B_x}{2}\\ M_y= \frac{Ay_+B_y}{2} \end{cases} \end{equation}$

Sostituendo i valori dati nel testo:

$\begin{equation} \begin{cases} M_x = (\frac{2}{3k}+1+\frac{1}{3k}-1) \cdot \frac{1}{2} \\ M_y= \frac{1}{2} (2-2k+4k+5) \end{cases} \end{equation}$

In definitiva:

$M_x=\frac{1}{2k},\ M_y=\frac{2k+7}{2}$

Il testo infine chiede di calcolare i valori di $k$ per cui $M_y = 4M_x$, sostituiamo ancora i valori:

$\frac{1}{2k} \cdot 4 = \frac{2k+7}{2}$

$\frac{4}{k} = 2k+7$

$2k^2+7k-4=0$

$k=\frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}= \frac{-7 \pm 9}{4} \implies k_1= \frac{-7-9}{4}=-4,\ k_2=\frac{-7+9}{4}=\frac{1}{2}$.

I valori cercati sono dunque $k_1=-4,\ k_2=\frac{1}{2}$.

Spero che la risposta sia stata d'aiuto, se hai dei dubbi chiedi nei commenti!