Il numero di batteri in una certa coltura raddoppia in 20 minuti. Sai che il numero iniziale è $N_0=500$.
a) Scrivi un'equazione che permetta di determinare il numero $N$ di batteri presenti $t$ minuti più tardi.
b) Calcola il valore di $N$ dopo 60 minuti e dopo 27 minuti.
c) Dopo quanto tempo i batteri sono 2350000 ?
[a) $N=500 \cdot e^{t \frac{\ln 2}{20}}$; b) $N_1=4000, N_2 \simeq 1275$, c) $t \simeq 244$ minuti]
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Livello 0
Raddoppiare significa aumentare del $100\%$ quindi:
a) $500\left(1+\frac{100}{100}\right)^{\frac{t}{20}}= 500\left(1+1\right)^{\frac{t}{20}};$
b) N° batteri dopo 60 minuti:
$N_1= 500(1+1)^{\frac{60}{20}}=500·2^3=4000;$
$N_2= 500(1+1)^{\frac{27}{20}}=500·2^{1,35}\approx{1275};$
è lo stesso utilizzando la formula indicata nella domanda:
$N_1= 500·e^{t·\frac{ln2}{20}}= 500·e^{60·\frac{ln2}{20}}=500·e^{3·ln2}=4000;$
$N_2= 500·e^{t·\frac{ln2}{20}}= 500·e^{27·\frac{ln2}{20}}=500·e^{1,35·ln2}\approx{1275};$
c) equazione:
$500(1+1)^{\frac{t}{20}}=2350000$
$500·2^{\frac{t}{20}} = 2350000$
$2^{\frac{t}{20}} = \frac{2350000}{500}$
$2^{\frac{t}{20}} =4700$
$\dfrac{t}{20}= \dfrac{ln(4700)}{ln(2)}$
$\dfrac{t}{20}= 12,198445$
$t= 12,198445·20$
$t=243,9689\;(\approx{244}\,min).$
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Genius I
N(t) = No * 2^(t/T)= 500 e^(t/20*ln2)
dopo 60 minuti
N = 500*2^(60/20) = 500*2^3 = 4000
dopo 27 minuti
N =. 500*e^(27/20*ln2)= 1274.56 ovvero 1275
Infine 500*2^(t/20) = 2350000
2^(t/20)= 4700
t = 20 log2 4700 =. 20 ln 4700/ln 2 = 243.97 Min
244 minuti, circa 4 ore
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Livello 7
