Problema stile esame

Question

Considera la funzione f(x)=x^2  ln (k x)$, con k>0$, il cui grafico è riportato in figura.a. Determina il valore di k in modo che f(x)$ sia tangente alla retta A B.b. Tra le primitive di f(x)$, sia F(x)$ quella passante per il punto (2 ;- frac {8}{9})$. Determina F(x)$ e disegnane il grafico.c. Dai dati ricavati deduci il grafico delle funzioni y=|F(x)|$ e y= frac {1}{F(x)}.[a) k= frac {1}{2};b)  left .F(x)= frac {x^3}{3}  ln ( frac {x}{2})- frac {x^3}{9} right ]$ [attach]81253[/attach]

cmc · Accepted Answer

$ f_k (x) = x^2 ln(kx);  quad  quad  con  , k > 0$ a.  il coefficiente angolare della retta AB risulta essere m = 2 Per determinare il valore k imponiamo   il passaggio per il punto A(2,0) ⇒ $ f_k (2) = 4 ln(2k) = 0$ ⇒ k =  frac {1}{2}   la derivata prima per x = 2 pari a m. f'_{ frac {1}{2}} (x) = x+2xln( frac {x}{2}) ⇒ f'_{ frac {1}{2}} (2) = 2$ quindi è coerente con k =  frac {1}{2}   b. Consideriamo la funzione f_{ frac {1}{2}} (x)$ in tal caso  F(x) =  frac {x^3}{3} ln(x) -  frac {x^3}{9} -  frac {x^3 ln(8)}{9} + c $    F(x) =  frac {x^3}{3} ln(x) -  frac {x^3}{9} -  frac {x^3 ln(2)}{3} + c $ F(x) =  frac {x^3}{3} ln( frac {x}{2}) -  frac {x^3}{9} + c $ per cui F(2) = -  frac {8}{9} + c $ imponendolo eguale a -8/9 ricaviamo c = 0 per cui la primitiva cercata risulta essere F(x) =  frac {x^3}{3} ln( frac {x}{2}) -  frac {x^3}{9}

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[Risolto] Problema stile esame

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