[Risolto] identità goniometrica

Per risolvere problemi sapere le formule aiuta poco (tanto, in ogni buon formulario ci sono ottime Tavole sinottiche e/o riassuntive per ogni uso) se poi si hanno difficoltà a riconoscere le configurazioni e/o a formulare una "educated guess" (plausibile ipotesi di tentativo) adatta al caso.
Se "applicando quelle di bisezione a destra non risulta nulla" hai mica provato ad applicare quelle di duplicazione a sinistra e/o a semplificare prima di applicare checchessia (o durante, o dopo)?
Io proprio questo farei, se fossi in te.
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Ambo i membri dell'eguaglianza hanno periodo 2*π, quindi ogni risultato valido nel primo giro vale anche a ± 2*k*π. Per
* (cos(a) != 0) & (cot(a/2) != 1) & (0 <= a < 2*π) ≡ (0 <= a < 2*π) & (a ∉ {π/2, 3*π/2})
sono lecite le seguenti equivalenze
* (1 + sin(a))/cos(a) = (cot(a/2) + 1)/(cot(a/2) - 1) ≡
≡ (1 + sin(a))/cos(a) = (cos(a/2)/sin(a/2) + 1)/(cos(a/2)/sin(a/2) - 1) ≡
≡ (1 + sin(a))/cos(a) = (cos(a/2) + sin(a/2))/(cos(a/2) - sin(a/2)) ≡
con a/2 = x
≡ (1 + sin(2*x))/cos(2*x) = (cos(x) + sin(x))/(cos(x) - sin(x)) ≡
≡ (1 + 2*cos(x)*sin(x))/(cos^2(x) - sin^2(x)) = (cos(x) + sin(x))/(cos(x) - sin(x)) ≡
con cos(x) = c, sin(x) = s, c^2 + s^2 = 1
≡ (1 + 2*c*s)/(c^2 - s^2) = (c + s)/(c - s)
e in questa forma, semplificata a due livelli, la dimostrazione si rivela semplice
* (c + s)/(c - s) = (c + s)*(c + s)/((c - s)*(c + s)) =
= (c^2 + s^2 + 2*c*s)/(c^2 - s^2) = (1 + 2*c*s)/(c^2 - s^2)
QED

Allora prova a sinistra...

t=tan(a/2) ; a≠pi+2*k*pi

[1+ 2t/(1+t²)] /[(1-t²)/(1+t²)]  = [(t+1)²]/(1-t²) = (t+1)/(1-t)

Identità verificata. Il secondo membro è infatti 

(1/t + 1)/(1/t - 1) = (1 + t)/(1 - t)