Identità ed uguaglianze

Sono identità ma oltre la condizione di esistenza si deve supporre che sia x >= 0, altrimenti all'x esterno 

deve subentrare |x|.

Per la prima x <= -1 V x >= 0 con x >= 0 => x >= 0

per la seconda x - x^2 >= 0 =>  0 <= x <= 1   ( automaticamente x >= 0 )

@paky_03_

Sono entrambe identità

1) Soluzione = x √x + x^2

2) Soluzione = x √x - x^2

Ti allego questi 2 casi nel momento in cui un'identità è verificata (con radici quadrate e frazioni)

NESSUNA DELLE DUE!

Cioè sono identità:

√(x^3 + x^4) = ABS(x)·√(x + x^2)

√(x^3 - x^4) = ABS(x)·√(x - x^2)

Il trasporto di fattori fuori dal segno di radice quadrata si può fare mettendo in conto il modulo!

Le scritture del testo sono sbagliate in quanto una radice quadrata, nell'ambito dei numeri reali, se esiste è positiva. Estraendo il fattore x e basta, ti dimentichi del fatto che la stessa x possa essere negativa e quindi non scrivi la stessa cosa!

Alla fine sono entrambe identità perché :

rad(x^3 + x^4) = x*rad(x + x^2)

Risolvendo la prima viene :

rad[x^2*(x + x^2)] = x*rad(x + x^2)

La stessa cosa vale per l'altra espressione e quindi sono entrambe identità.

E FAI MOLTO BENE A NON ESSERE CONVINTO.
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Le eguaglianze in cui siano presenti radici d'ordine pari e funzioni di x si risolvono per quadrature, avendo presente che ogni quadratura può introdurre radici spurie; quindi per ogni eventuale radice trovata si deve verificare che soddisfaccia all'eguaglianza originale, se l'eguaglianze è un'equazione.
Se invece in corso di semplificazione la variabile scompare allora l'eguaglianze si può ridurre alla forma
* numero = 0
che, se numero è zero, vuol dire che l'eguaglianza originale è un'identità; e, se numero non è zero, vuol dire che l'eguaglianza originale è una contraddizione (l'affermazione "è eguale a" è una menzogna).
NOTA
Trattando di eguaglianze non occorre la condizione restrittiva che i radicandi siano positivi, come sarebbe stato in caso di diseguaglianze d'ordine.
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NEL CASO IN ESAME
La forma particolare dei radicandi facilita l'esame
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1) √(x^3 + x^4) = x*√(x + x^2) ≡ √((x + x^2)*x^2) = x*√(x + x^2)
si vede per ispezione che è vera per ogni x non negativo e per x = - 1, ma non per altri valori negativi.
Quindi non è un'identità.
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2) √(x^3 - x^4) = x*√(x - x^2) ≡ √((x - x^2)*x^2) = x*√(x - x^2)
si vede per ispezione che è vera solo sul segmento unitario [0, 1].
Quindi non è un'identità.

Sono identità se l'uguaglianza vale per ogni x.

Qui ci sono radici quadrate, l'argomento della radice deve essere maggiore di 0 o uguale 0.

La prima:

rad(x^3 + x^4) = x * rad(x + x^2);

x + x^2 > = 0;

x * (1 + x^2) > = 0;

x > 0

x^2 > - 1 sempre vera;

x^3 + x^4 > = 0, per ogni x.

 è un'identità.

Esempio:

Se x = - 2;

rad(x^3 + x^4) = rad[ (-2)^3 + (-2)^4] = rad(- 8 + 16) = rad(8) = +-2 rad(2);

x * rad(x + x^2) = (-2) * rad[(-2) + (-2)^2)] = (-2) * rad(2)

La seconda:

√(x^3 - x^4) =  x * √(x - x^2);

x^3 - x^4 >= 0;

x^2 * (x - x^2) > = 0;

x^2 è sempre positivo;

x - x^2 > = 0;

x * (1 - x^2) > = 0;

x > =  0;

1 - x^2 > 0

x^2 < 1; (soluzioni + - 1 vera per valori interni all'intervallo);

 - 1 < x  < + 1;   compreso lo zero.

é vera per questi valori di x presi fra - 1 e + 1.

Non è un'identità.

@paky_03_  ciao