[Risolto] I poliedri

La somma di due dimensioni di un parallelepipedo rettangolo misura 14 cm e il loro rapporto è 4/3. Sapendo che l'area totale è 768 cm², calcola la misura della terza dimensione del parallelepipedo.

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Dimensione incognita maggiore $a= \dfrac{14}{4+3}×4 = \dfrac{14}{7}×4 = 8~cm$;

dimensione incognita minore $b= \dfrac{14}{4+3}×3 = \dfrac{14}{7}×3 = 6~cm$;

area della faccia con tali dimensioni (area di base) $Ab= a·b = 8×6 = 48~cm^2$;

perimetro della faccia $2p= 2(a+b) = 2(8+6) = 2×14 = 28~cm$;

area laterale $Al= At-2·Ab= 768-2×48 = 768-96 = 672~cm^2$;

3° dimensione $c= \dfrac{Al}{2p} = \dfrac{672}{28} = 24~cm$.

L'area totale T di un parallelepipedo rettangolo di spigoli {a, b, c} (valori positivi) è
* T = 2*(a*b + a*c + b*c)
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Se di due valori positivi {u, v} si hanno la somma s = u + v e il rapporto k = v/u > 1 essi sono la soluzione del sistema
* (s = u + v) & (k = v/u) & (k > 1) ≡
≡ (u = s/(k + 1)) & (v = k*s/(k + 1))
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L'esercizio dice che
* s = a + b = 14
* k = 4/3
* T = 2*(a*b + a*c + b*c) = 768
quindi
* a = s/(k + 1) = 14/(4/3 + 1) = 6
* b = k*s/(k + 1) = (4/3)*14/(4/3 + 1) = 8
* T = 2*(a*b + a*c + b*c) = 768 ≡
≡ 6*8 + 6*c + 8*c = 768/2 ≡
≡ 2*(7*c + 24) = 384 ≡
≡ 7*c = 384/2 - 24 ≡
≡ 7*c = 168 ≡
≡ c = 168/7 = 24