HOPITAL

Problema:

Si individui il seguente limite:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} ((\sin x² )\ln x)$

Soluzione:

Senza scomodare de l'Hôpital è possibile svolgere il seguente limite utilizzando le tendenze asintotiche e gli ordini.

Dato che per $ε(x) \rightarrow 0$ $\sin ε(x)$ ~ $ε(x)$, il limite può esser riscritto come:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} ((\sin x² )\ln x)=\lim_{x \rightarrow 0^+} (x²\ln x)$.

Dato che x² ha un ordine maggiore di $\ln x$, il limite può esser riscritto ancora come:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (x²\ln x)=\lim_{x \rightarrow 0^+} (x²)=0$.

Nel caso in cui si volesse utilizzare il teorema di de l'Hôpital il limite andrebbe riscritto come segue:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} ((\sin x² )\ln x)=\lim_{x \rightarrow 0^+} (\frac{\sin x²}{\frac{1}{\ln x}})$.

Cambio di variabile, per semplificare la notazione

• y = x² ⇒ x = √y ⇒ ln(x) = (1/2) ln(y)
• se x → 0⁺ allora y → 0⁺
• Il limite dato è equivalente a

$ (\frac{1}{2})\displaystyle\lim_{y \to 0^+} sin(y) \cdot ln(y)  $

forma indeterminata del tipo 0*∞.

Riduciamola nella forma 0/0

Applichiamo de l'Hôpital

$ (\frac{1}{2})\displaystyle\lim_{y \to 0^+} \frac {ln(y)}{csc(y)}  $

ricordo che la derivata della cosecante è eguale a - cosecante per la cotangente = -csc*ctg(x)

$ =- (\frac{1}{2})\displaystyle\lim_{y \to 0^+} \frac {1}{y \cdot csc(y) \cdot ctg(y)}  $

$ =- (\frac{1}{2})\displaystyle\lim_{y \to 0^+} \frac {sin^2(y)}{y \cdot cos(y)}  $

$ =- (\frac{1}{2})\displaystyle\lim_{y \to 0^+} \frac {sin(y)}{y} \cdot \frac {sin(y)}{cos(y)} = 1 \cdot 0 = 0 $