[Risolto] Ho bisogno di aiuto per il numero 54

@stef8989

Ciao. Fra poco mi appresto a pranzare. Penso quindi di finire a risponderti nel pomeriggio (dopo la pennichella)

Il fascio è proprio. Il centro P di tale fascio lo trovo ponendo ad es. k=1 e k=0 e mettendo a sistema le rette relative:

{3·1·x - (1 + 2·1)·y - 6 = 0

{3·0·x - (1 + 2·0)·y - 6 = 0

Quindi risolvendo il sistema:

{3·x - 3·y - 6 = 0

{-y - 6 = 0

che porta alla soluzione:[x = -4 ∧ y = -6]------> P(-4,-6)

Le rette generatrici del fascio si ottengono sviluppando l'equazione data:

3·k·x - 2·k·y - y - 6 = 0-------> (y + 6) + k·(2·y - 3·x) = 0

Quindi: y + 6 = 0 e 2·y - 3·x = 0

Ti rispondo poi all'ultimo quesito. Deve essere:

{3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0

{y = 0

{-8 ≤ x ≤ 4

Quindi dalle prime due:[x = 2/k ∧ y = 0]

e con l'ultima condizione, ottieni:

-8 ≤ 2/k ≤ 4-------> k ≤ - 1/4 ∨ k ≥ 1/2

Ti allego poi il disegno di sotto su cui puoi cominciare a ragionare pure tu:

Ciao. Riprendo...

3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0 equazione del fascio

Siccome la circonferenza inscritta in OAB deve avere raggio 1, in quanto deve essere tangente agli assi cartesiani, impongo che tale valore sia pari alla distanza dalla generica retta del fascio.

1 = ABS(3·k + (1 + 2·k) - 6)/√((3·k)^2 + (1 + 2·k)^2)

1 = 5·ABS(k - 1)/√(13·k^2 + 4·k + 1)

Quindi:5·ABS(k - 1) = √(13·k^2 + 4·k + 1)

elevo al quadrato:25·k^2 - 50·k + 25 = 13·k^2 + 4·k + 1

12·k^2 - 54·k + 24 = 0

6·(k - 4)·(2·k - 1) = 0

k = 1/2 ∨ k = 4

per k=1/2 ottengo:3·(1/2)·x - (1 + 2·(1/2))·y - 6 = 0

3·x/2 - 2·y - 6 = 0-----------> 3·x - 4·y - 12 = 0

Per k=4 si ottiene un valore incompatibile con la posizione dell'incentro I(1,-1)

Procedo quindi al triangolo OCD

{3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0

{y = 0

risolvo: [x = 2/k ∧ y = 0] corrispondente a C

{3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0

{x = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = - 6/(2·k + 1)] corrispondente a D

DEVE ESSERE:

{2/k·(1/3) = - 8/3 ascissa di G

{(- 6/(2·k + 1))·(1/3) = -4 ordinata di D

k = - 1/4

Quindi:

3·(- 1/4)·x - (1 + 2·(- 1/4))·y - 6 = 0-------> 3·x + 2·y + 24 = 0

L'intersezione di queste due rette trovate con gli assi determinano i punti A,B,CeD 

Il calcolo lo lascio fare a te : 1/8 è il rapporto fra le aree dei due triangoli.