In una circonferenza di raggio $22,5 \mathrm{~cm}$ è inscritto un trapezio isoscele in modo tale che la base maggiore coincida con il diametro della circonferenza. II perimetro del tapezio è $111,6 \mathrm{~cm}$ e la base minore è $7 / 25$ della base maggiore. Calcola l'area del trapezio, la misura della sua diagonale e l'ampiezza dell'angolo opposto a quello di $98^{\circ}$.
$\left[622,08 \mathrm{~cm}^{2} ; 36 \mathrm{~cm} ; 82^{\circ}\right]$
64
punti
Livello 0
Circonferenza:
diametro $Ø= 2r = 2×22,5 = 45 cm$.
Trapezio inscritto nella circonferenza come da domanda:
perimetro $2p= 111,6 cm$;
base maggiore = diametro della circonferenza $B= 45 cm$;
base minore $b= \frac{7}{25}×45 = \frac{7}{5}×9 = 12,6 cm$;
ciascun lato obliquo $lo= \frac{[2p-(B+b)]}{2} = \frac{[111,6-(45+12,6)]}{2} = 27 cm$;
proiezione lato obliquo sulla base maggiore $plo= \frac{45-12,6}{2} = 16,2 cm$;
altezza $h= \sqrt{27²-16,2²} = 21,6 cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono la proiezione del lato obliquo e l'altezza incognita mentre l'ipotenusa è il lato obliquo);
1) area $A= \frac{(B+b)×h}{2} = \frac{(45+12,6)×21,6}{2} = 622,08 cm²$;
proiezione lato obliquo + base minore sulla base maggiore $plo+b = 16,2+12,6 = 28,8 cm$;
2) diagonale $d= \sqrt{28,8²+21,6²} = 36 cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono l'altezza e la proiezione della base minore e del lato obliquo mentre l'ipotenusa è la diagonale incognita);
3) angolo opposto all'angolo di $98° = 180°-98° = 82°$ (due angoli opposti nel trapezio isoscele sono supplementari cioè la loro somma è 180°).
54338
punti
Genius I
diametro circonferenza=2*22.5= 45 cm
45 cm = base maggiore trapezio isoscele.
base minore= 7/25* 45=12.6 cm
perimetro=
45+12.6+2*x=111.6————-> 2x=54
x= lato obliquo = 27 cm
proiezione lato obliquo su base maggiore =(45-12.6)/2=16.2 cm
altezza con Pitagora: sqrt(27^2-16.2^2)=21.6 cm
area trapezio=1/2*(45+12.6)*21.6= 622.08 cm^2
90143
punti
Genius II
