[Risolto] Grafico

Problema:

Osservando il grafico della figura determina:

(i) il dominio e l'insieme immagine della funzione;

(ii) l'espressione analitica di $f(x)$ che, per $x≤1$, è rappresentata da un arco di parabola con vertice sull'asse $y$;

(iii) $f(1), f(2), f(-1), f(0), f(-2), f(3)$.

Soluzione:

(i) Per individuare il dominio è necessario proiettare i punti della funzione sull'asse $x$ e vedere dove esso è coperto, esso risulta coperto in tutto $\mathbb{R}$, ossia $D=\mathbb{R}$.

Per individuare l'insieme immagine è necessario proiettare i punti della funzione sull'asse $y$ e vedere dove esso è coperto, esso risulta coperto in $y≤1$ e $y>2$, ossia $I=(-∞, 1] \cup (2, +∞)$.

(ii) È possibile dedurre che la funzione è composta da una retta ($f_1(x)$)per $x>1$ e da una parabola rivolta verso il basso ($f_2(x)$) per $x≤1$.

L'equazione della parabola è individuabile tramite la seguente relazione: $y-y_v=k(x-x_v)² \rightarrow y-1=k(x-0)² \rightarrow y=kx²+1$, tramite l'ausilio di un punto $P$ arbitrario presente nella parabola è possibile identificare $f_2(x)=-x²+1, x≤1$.

L'equazione della retta è individuabile tramite la seguente relazione: $y-y_p=m(x-x_p) \rightarrow y-4=m(x-2) \rightarrow y=m(x-2)+4$, poiché $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ è possibile identificarlo tramite due punti appartenenti alla retta con il valore $m=\frac{4-2}{2-1}=2$. Si ottiene dunque $f_1(x)=2x, x>1$

La funzione analitica $f(x)$ risulta dunque essere $f(x)=f_1(x) \cup f_2(x)$.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

(iii) Osservando i valori corrispondenti alle $x$ sul grafico è possibile individuare i vari valori di $f(x)$.

$f(1)=0$

$f(2)=4$

$f(-1)=0$

$f(0)=1$

Poiché alcuni punti non sono presenti nell'immagine data, è opportuno sostituire la $x$ data nell'equazione analitica della funzione $f(x)=f_1(x) \cup f_2(x)$.

Poiché $x=-2 \in (-∞, 1]$ si ha

$f(-2)=f_2(-2)=-(-2)²+1=-4+1=-3$

Poiché $x=3 \in (1,+∞)$ si ha

$f(3)=f_1(3)=2(3)=6$