Grafico

y = √((x^2 + 4·ABS(x) + 4)/x^2)

Cominci con l'osservare che la funzione in esame non è definita per x=0, per altri valori di x è reale ed è sempre positiva.

Inoltre è pari in quanto lo è il radicando. Quindi ti sarà sufficiente disegnarla per x>0 e specularmente rispetto all'asse delle y per x<0.

Quindi se x>0

la scrivi come: y = √((x^2 + 4·x + 4)/x^2) che è equivalente a scrivere:

y = ABS((x + 2)/x) per x>0 liberi il modulo: y= (x+2)/x

Funzione omografica con asintoti x=0 ed y=1

Come detto dal grafico escludi il ramo di sinistra. Tieni il ramo di destra e lo riporti simmetricamente

 rispetto asse y ottenendo la funzione desiderata.

Potresti riscriverla come

y = rad((|x|+2)^2/x^2) = |(x+2)/x|

e si riconduce quindi ad una funzione omografica, iperbole equilatera traslata,

con le parti negative ribaltate rispetto all' asse x.

https://www.desmos.com/calculator/jsiw5cxjob

Per rappresentare graficamente la funzione
* g(x) = y = √((x^2 + 4*|x| + 4)/x^2) = √(1 + 4/|x| + 4/x^2)
una volta riconosciuti
* l'asintoto verticale sull'asse y, x = 0
* l'asintoto orizzontale y = 1
* il fatto che si tratti di una funzione pari
basta limitarsi alla semplificata
* f(x) = y = √(1 + 4/x + 4/x^2)
il cui grafico poi si riflette specularmente nel semipiano x < 0.
Dall'esame delle due prime derivate, con la restrizione x > 0,
* f'(x) = - 2/x^2
* f''(x) = 4/x^3
si vede che il grafico è privo di flessi e di estremi relativi: monotòno decrescente per x > 0.