Grafici logaritmi

E' bene tener presente che

1. per quanto riguarda la monotonia
   1. se la base a è > 1 allora il grafico sarà crescente.
   2. se la base è compresa tra 0 e 1 allora il grafico sarà decrescente.
2. per quanto riguarda il coefficiente k
   1. se è del tipo log(x+k) si ha uno spostamento (shift orizzontale) sull'asse delle x
   2. se è del tipo logx + k si ha uno spostamento (shift verticale)  sull'asse delle y

nota: non userò il concetto di limite visto che, come mi hai fatto presente, è un argomento non ancora trattato.

a. Curva crescente (a>1) con shift a destra quindi la funzione è del tipo

$y = log_a (x+k)$

Tale funzione presenta un asintoto verticale di equazione x = 3. In tale punto l'argomento del logaritmo deve essere prossimo allo zero, quindi

$ x+k = 0 \; ⇒ \; 3+k = 0 \; ⇒ \; k = -3$ 

La funzione è del tipo

$ y = log_a (x-3)$

per calcolare a introduciamo l'ultimo dato cioè y(6) = 1

 $ y(6) = 1 \; ⇒ \; log_a (6-3) = 1 \; ⇒ \; 3 = a^1 \; ⇒ \; a = 3$

La funzione è quindi

$ y(x) = log_3 (x-3)$

.

b.  Curva decrescente con shift verticale (con shift nullo passerebbe per il punto P(1,0))

Ci aspettiamo una funzione del tipo $ y(x) = log_a x +k$ con a∈(0,1)

Nel caso illustrato

$ log_a(1) + k = 4$ 

dalla $log_a 1 = 0 $ segue che 

$ 0 + k = 4 \; ⇒ \; k = 4$

Ci aspettiamo una funzione del tipo $y(x) = log_a x + 4 $

Introduciamo l'ultimo dato cioè y(9/4) = 2, cioè

$ log_a (\frac{9}{4}) + 4 = 2$

$ log_a (\frac{9}{4}) = -2$

dalla definizione di log

$ a^{-2} =  \frac{9}{4} \; ⇒ \; a^2 = \frac{4}{9} \; ⇒ \; a = \frac{2}{3}$

Il valore negativo va scartato essendo le basi dei logaritmi positive. Come anticipato a risulta minore di 1.

La funzione rappresentata dal grafico è quindi

$ y(x) = log_{\frac{2}{3}} x + 4$

.

c.    Curva decrescente con shift orizzontale di equazione x = -5. La funzione sarà del tipo

$ y(x) = log_a (x+k)$ 

Per x = -5 si ha l'asintoto quindi 

$ x+k = 0 \; ⇒ \; -5+k = 0 \; ⇒ \; k = 5 $

nota. Se k è positivo lo shift va a sinistra se negativo va a destra.

La funzione è del tipo

$ y = log_a (x+5)$

per calcolare a introduciamo l'ultimo dato cioè y(0) = -1

 $ y(0) = -1 \; ⇒ \; log_a (5) = -1 \; ⇒ \; a = \frac{1}{5}$

La funzione è così

$ y(x) = log_{\frac{1}{5}} (x+5) $

Ti consiglio di verificare i risultati con un calcolatore grafico (es. Desmos)