Spiegare il perchè.
Spiegare il perchè.
E' bene tener presente che
nota: non userò il concetto di limite visto che, come mi hai fatto presente, è un argomento non ancora trattato.
a. Curva crescente (a>1) con shift a destra quindi la funzione è del tipo
$y = log_a (x+k)$
Tale funzione presenta un asintoto verticale di equazione x = 3. In tale punto l'argomento del logaritmo deve essere prossimo allo zero, quindi
$ x+k = 0 \; ⇒ \; 3+k = 0 \; ⇒ \; k = -3$
La funzione è del tipo
$ y = log_a (x-3)$
per calcolare a introduciamo l'ultimo dato cioè y(6) = 1
$ y(6) = 1 \; ⇒ \; log_a (6-3) = 1 \; ⇒ \; 3 = a^1 \; ⇒ \; a = 3$
La funzione è quindi
$ y(x) = log_3 (x-3)$
.
b. Curva decrescente con shift verticale (con shift nullo passerebbe per il punto P(1,0))
Ci aspettiamo una funzione del tipo $ y(x) = log_a x +k$ con a∈(0,1)
Nel caso illustrato
$ log_a(1) + k = 4$
dalla $log_a 1 = 0 $ segue che
$ 0 + k = 4 \; ⇒ \; k = 4$
Ci aspettiamo una funzione del tipo $y(x) = log_a x + 4 $
Introduciamo l'ultimo dato cioè y(9/4) = 2, cioè
$ log_a (\frac{9}{4}) + 4 = 2$
$ log_a (\frac{9}{4}) = -2$
dalla definizione di log
$ a^{-2} = \frac{9}{4} \; ⇒ \; a^2 = \frac{4}{9} \; ⇒ \; a = \frac{2}{3}$
Il valore negativo va scartato essendo le basi dei logaritmi positive. Come anticipato a risulta minore di 1.
La funzione rappresentata dal grafico è quindi
$ y(x) = log_{\frac{2}{3}} x + 4$
.
c. Curva decrescente con shift orizzontale di equazione x = -5. La funzione sarà del tipo
$ y(x) = log_a (x+k)$
Per x = -5 si ha l'asintoto quindi
$ x+k = 0 \; ⇒ \; -5+k = 0 \; ⇒ \; k = 5 $
nota. Se k è positivo lo shift va a sinistra se negativo va a destra.
La funzione è del tipo
$ y = log_a (x+5)$
per calcolare a introduciamo l'ultimo dato cioè y(0) = -1
$ y(0) = -1 \; ⇒ \; log_a (5) = -1 \; ⇒ \; a = \frac{1}{5}$
La funzione è così
$ y(x) = log_{\frac{1}{5}} (x+5) $
Ti consiglio di verificare i risultati con un calcolatore grafico (es. Desmos)