GRAFICI

La funzione definita in figura  è a tratti:

y=

{x+3 per x<0

{3 per 0<=x<3

{15/2x-3/2 per x>=3

Determiniamo la primitiva con la condizione iniziale F(-3)=0

x^2/2 + 3·x + c = 0 per x=-3:

(-3)^2/2 + 3·(-3) + c = 0---> c - 9/2 = 0--> c = 9/2

Tratto intermedio: 3·x + 9/2

Tratto finale: F(3) =3·3 + 9/2 = 27/2

15/2·3 - 3/4·3^2 + c = 27/2---> c = - 9/4

15/2·x - 3/4·x^2 - 9/4

- 3·x^2/4 + 15·x/2 - 9/4

IF(x < 0, x^2/2 + 3·x + 9/2, IF(0 ≤ x < 3, 3·x + 9/2, 15/2·x - 3/4·x^2 - 9/4))

Eccolo

Scriviamo la funzione che rappresenta f(x) usando la formula di retta tra due punti oppure per il primo tratto l'equazione segmentaria della retta.

$ f(x) = \begin{cases} x+3 &\text{se $x \in [-3, 0]$} \\ 3 &\text{se $x \in (0, 3]$} \\ -\frac{3x}{2} + \frac{15}{2}  &\text{se $x \in (3, 5]$} \end{cases} $

Integriamo ogni singolo tratto   

$ F(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2}+3x + c_1 &\text{se $x \in [-3, 0]$} \\ 3x+c_2 &\text{se $x \in (0, 3]$} \\ -\frac{3x^2}{4} + \frac{15x}{2} + c_3 &\text{se $x \in (3, 5]$} \end{cases} $

Calcoliamo i valori delle costanti $c_1, c_2, c_3$

c₁.  dalla condizione 

$ F(-3) = 0 \; ⇒ \; \frac{(-3)^2}{2}+3(-3) + c_1 = 0 \; ⇒ \; c_1 = \frac{9}{2}$

Nel punto finale F(0) varrà  $\frac{9}{2}$

c₂.  dalla condizione 

$ F(0) = \frac{9}{2} \; ⇒ \; 3\cdot 0 + c_2 = \frac{9}{2} \; ⇒ \; c_2 = \frac{9}{2}$

Nel punto finale F(3) varrà  $9 + \frac{9}{2} = \frac{27}{2}$

c₃.  dalla condizione 

$ F(3) = \frac{27}{2} \; ⇒ \; -\frac{27}{4} + \frac{45}{2} + c_3 = \frac{27}{2} \; ⇒ \; c_3 = -\frac{9}{4}$

La nostra F(x) è così

$ F(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2}+3x + \frac{9}{2} &\text{se $x \in [-3, 0]$} \\ 3x++ \frac{9}{2} &\text{se $x \in (0, 3]$} \\ -\frac{3x^2}{4} + \frac{15x}{2} -\frac{9}{4} &\text{se $x \in (3, 5]$} \end{cases} $