GONIOMETRIA

$\tan\alpha =\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$
Sappiamo che $\sin\alpha=±\sqrt{1-[cos\alpha]^2}$
Poichè l'angolo è nel primo quadrante, dove il seno è positivo, scartiamo la soluzione negativa:
$\sin\alpha=\sqrt{1-[\cos\alpha]^2}$
Quindi:
$\dfrac{\sqrt{1-[\cos\alpha]^2}}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{3}$, da cui:
$[\cos\alpha]^2=\dfrac{9}{25}$ e poichè il coseno è positivo nel primo quadrante:
$\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$.
$\sin\alpha=\sqrt{1-[\cos\alpha]^2}=\dfrac{4}{5}$.
Poichè l'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco dell'angolo al centro è la sua metà, uso la formula di bisezione del seno (accettando la soluzione positiva poichè $\alpha$ appartiene al primo quadrante e quindi necessariamente anche la sua metà).
$\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$