[Risolto] goniometria

Troviamo il coseno di ACB tramite la formula di duplicazione:

$ cos(ACB) = cos(2*ACD) = 2cos^2(ACD)-1 = 2*(\frac{4}{5})^2-1 = \frac{32}{25}-1 = \frac{7}{25}$

Considerando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180, possiamo dire che:

$CAB = \pi - (ACB + CBA)$

Applichiamo il coseno ad ambo i membri:

$cos(CAB) = cos(\pi - (ACB + CBA))$

E sfruttando le formule degli angoli associati possiamo scrivere:

$cos(CAB) = -cos(ACB + CBA)$

Applichiamo quindi la formula di addizione del coseno:

$cos(CAB) = -[cos(ACB)cos(CBA) - sin(ACB)sin(CBA)]$

Troviamo quindi i termini che ci mancano:

$sin(ACB) = \sqrt{1-cos^2(ACB)} = \sqrt{1-(\frac{7}{25})^2} = \frac{24}{25}$

$sin(CBA) = \sqrt{1-cos^2(CBA)} = \sqrt{1-(\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$

Quindi sostituendo i valori trovati:

$cos(CAB) = -[\frac{7}{25}*\frac{5}{13} - \frac{24}{25}\frac{12}{13}] = -[\frac{35}{325} - \frac{288}{325}] = +\frac{253}{325}$

Ora usiamo la formula di bisezione:

$cos(CAD) = cos(CAB/2) = \sqrt{\frac{1+cos(CAB)}{2}} = \sqrt{\frac{1+253/325}{2}}=\sqrt{\frac{578}{650}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}$

Sfruttando di nuovo la somma degli angoli interni del triangolo CAD possiamo dire che:

$ADC = \pi -(CAD+ACD)$

Dato che il problema ci chiede il seno, applichiamolo ad ambo i membri:

$sin(ADC) = sin(\pi -(CAD+ACD))$

E di nuovo sfruttando gli angoli associati:

$sin(ADC) = sin(CAD+ACD)$

Usiamo la formula di addizione del seno:

$sin(ADC) = sin(CAD)cos(ACD) + cos(CAD)sin(ACD)$

Anche qui ci serve calcolare alcuni termini a parte:

$sin(CAD)=\sqrt{1-cos^2(CAD)} = \sqrt{1-(\frac{17\sqrt{13}}{65})^2} = \frac{6\sqrt{13}}{65}$

$sin(ACD)=\sqrt{1-cos^2(ACD)} = \sqrt{1-(\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$

E quindi:

$sin(ADC) = \frac{6\sqrt{13}}{65} * \frac{4}{5} + \frac{17\sqrt{13}}{65}*\frac{3}{5} = \frac{24\sqrt{13}}{325} + \frac{51\sqrt{13}}{325} = \frac{75\sqrt{13}}{325} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

Infine conoscendo già seno e coseno di CAD abbiamo:

$ tan(CAD) = \frac{sin(CAD)}{cos(CAD)} = \frac{\frac{6\sqrt{13}}{65}}{\frac{17\sqrt{13}}{65}} = \frac{6}{17}$

Noemi

Prova a ragionarci sopra ora. Domani se mi ricorderò  vedrò di continuare. Ciao e Buona notte.

SIN(α) = SIN(pi - (β + γ))

SIN(α) = SIN(β + γ)

SIN(β + γ) = SIN(β)·COS(γ) + SIN(γ)·COS(β)

SIN(β + γ) = 12/13·(7/25) + 24/25·(5/13)

SIN(β + γ) = 204/325

SIN(α) = 204/325

COS(α) = √(1 - (204/325)^2)

COS(α) = 253/325

TAN(α/2) = √((1 - COS(α))/(1 + COS(α)))

TAN(α/2) = √((1 - 253/325)/(1 + 253/325))

TAN(α/2) = 6/17

SIN(α/2) = √((1 - COS(α))/2)

SIN(α/2) = √((1 - 253/325)/2)

SIN(α/2) = 6·√13/65

COS(α/2) = √(1 - (6·√13/65)^2)

COS(α/2) = 17·√13/65

SIN(θ) = SIN(pi - (α/2 + γ/2))

SIN(θ) = SIN(α/2 + γ/2)

SIN(α/2 + γ/2) = SIN(α/2)·COS(γ/2) + SIN(γ/2)·COS(α/2)

SIN(θ) = 6·√13/65·(4/5) + 3/5·(17·√13/65)

SIN(θ) = 3·√13/13