Un giardiniere ha avuto l'incarico di realizzare un'aiuola a forma di settore circolare con un'area di $16 \mathrm{~m}^2$. L'interno dell'aiuola sarà ricoperto d'erba, mentre lungo il perimetro saranno piantati dei fiori. Determina il raggio e l'angolo di apertura dell'aiuola in modo che si utilizzi il minor numero di fiori.
$$
[r=4 \mathrm{~m} ; \alpha=2 \mathrm{rad}]
$$
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Livello 1
In questo caso hai un problema di estremo assoluto vincolato dovendo risultare
a/2 r^2 = 16 => a = 32/r^2
P = 2 r + L = 2 r + a r perché L/a = 2 pi r/(2pi)
per cui sostituendo P(r) = 2 r + 32/r^2 * r = 2 ( r + 16 / r )
e si dimostra che se due grandezze hanno prodotto costante (16 nel nostro caso)
la loro somma é minima quando sono uguali.
Pertanto r^2 = 16 => r = 4 m e a = 32/4^2 rad = 2 rad.
Dimostrazione nel nostro caso.
A parte il 2 moltiplicativo
la derivata della funzione in parentesi é 1 - 16/r^2 che é positiva
se r^2 - 16 >= 0 => r <= - 4 ( non ci interessa )
e r >= 4. Per cui in r* = 4 ha sede un minimo che si può dimostrare
facilmente essere assoluto constatando che i limiti ai confini del
dominio utile (r->0+ e r -> +oo) valgono entrambi +oo.
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Livello 7
@eidosm rad è radiante?
Certo, é radiante. Quindi 2 rad sono circa 115°
@eidosm Pensavo che fosse radice quadrata. Sono una stupida.. Grazie mille.!!
FAMMI CAPIRE, tu scrivi ringraziando della risposta senza averla letta?
Te l'ho risolto alle 15:47 questo problema
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/147112/
e tu m'hai scritto "Grazie." alle 15:56; e poi, alle 20:26, lo riproponi?
Ma allora, se le mie risposte non ti sono utili, non ringraziarmi: anzi, mandami a quel paese e io non ti rispondo più; così mi sembra di essere quel cretino che lavava la testa all'asino e non è una sensazione gradevole.
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Qui la sola differenza è che l'area del settore di cui minimizzare il perimetro è 16 m^2 invece di 8 m^2.
Basta fare questa sostituzione e tutti i calcoli restano gli stessi.
* S = (x/2)*r^2 = 16 m^2 ≡ r = 4*√(2/x) m
* p(x) = 2*r + r*x ≡
≡ y = 4*(x + 2)*√(2/x)
* (y = k) & (y = 4*(x + 2)*√(2/x)) & (k > 0)
da cui, come nel precedente esercizio,
* perimetro y = 16 m
* angolo x = 2 rad ~= 114° 35' 30''
* r = 4 m
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
E' tutto la colpa della mia stupidità. Mi scuso per averti fatto perdere il suo tempo prezioso.
@yuki
Non ho affatto perso tempo, il tempo di mostrare agli alunni qualche esempio di procedure risolutive è un prezioso investimento per il futuro: quando tu farai parte della classe dirigente che amministrerà la vita dei miei pronipoti, è mio interesse averti aiutato a sviluppare la tua intelligenza e il tuo sapere. Tanto per iniziare ti suggerisco di non pensare mai più cosacce come "la mia stupidità": un'adolescente non è mai stupida e, quando lo sembra, è solo perché sta "prendendo le misure al mondo"; è così che si diventa adulti (adolescente è il participio presente di adulesco, e adulta ne è il participio perfetto). Però non mi hai risolto il dilemma: le mie risposte ti sono utili o mi mandi a quel paese? Non lasciarmi in sospeso, fai conto che io sia un tuo nonno!
