Gerarchie di inifiniti e limiti notevoli.

Farei così!!!

il seguente limite:

lim(x→∞) x * e^x

Intuitivamente:

* Quando x tende all'infinito, sia x che e^x diventano infinitamente grandi.

* Il prodotto di due quantità che diventano infinitamente grandi è, a sua volta, una quantità che tende all'infinito.

Formalmente:

Non possiamo applicare direttamente le regole dei limiti, poiché otteniamo una forma indeterminata del tipo ∞ * ∞.

Soluzione:

Per risolvere questo limite, possiamo utilizzare la regola di de l'Hôpital, ma prima dobbiamo riscrivere l'espressione in una forma adatta.

Possiamo riscrivere il limite come:

lim(x→∞) x * e^x = lim(x→∞) e^x / (1/x)

Ora abbiamo una forma indeterminata del tipo ∞/∞, che ci permette di applicare la regola di de l'Hôpital:

lim(x→∞) e^x / (1/x) = lim(x→∞) (e^x) / (-1/x^2) = lim(x→∞) -x^2 * e^x

Abbiamo ottenuto un'espressione simile alla precedente, ma con un termine aggiuntivo -x^2. Tuttavia, anche in questo caso, sia -x^2 che e^x tendono all'infinito quando x tende all'infinito. Quindi, il prodotto tende ancora a infinito.

Conclusione:

lim(x→∞) x * e^x = ∞

In altre parole, il limite del prodotto di x ed e^x quando x tende all'infinito è infinito.

x tende a meno infinito

meno infinito per 1/e^x  uguale  

meno infinito per zero = zero