Gerarchie di inifiniti e limiti notevoli.

Calcolo il seguente limite:

lim_(x->+∞) (x^3 + 1) / (e^x + 1)

Intuizione:

* Al denominatore, la funzione esponenziale e^x cresce molto più velocemente di qualsiasi polinomio, come x^3.

* Quindi, al tendere di x a infinito, il denominatore diventa enorme rispetto al numeratore.

Calcolo formale:

Per dimostrare formalmente questo risultato, possiamo utilizzare la regola di de l'Hôpital, applicandola due volte:

* Prima applicazione:

   * Derivata del numeratore: 3x^2

   * Derivata del denominatore: e^x

   * Nuovo limite: lim_(x->+∞) (3x^2) / (e^x)

* Seconda applicazione:

   * Derivata del nuovo numeratore: 6x

   * Derivata del nuovo denominatore: e^x

   * Nuovo limite: lim_(x->+∞) (6x) / (e^x)

* Terza applicazione (opzionale):

   * Derivata del nuovo numeratore: 6

   * Derivata del nuovo denominatore: e^x

   * Nuovo limite: lim_(x->+∞) 6 / (e^x)

Conclusione:

* Al tendere di x a infinito, il denominatore e^x continua a crescere indefinitamente, mentre il numeratore (che ora è una costante) rimane fisso.

* Quindi, il rapporto tende a zero.

Risposta:

lim_(x->+∞) (x^3 + 1) / (e^x + 1) = 0