Gerarchie di inifiniti e limiti notevoli.

Soluzione:

Quando x tende a -∞, e^(-x) tende a +∞ (in quanto la funzione esponenziale con base maggiore di 1 cresce molto rapidamente quando l'esponente diventa sempre più negativo).

D'altra parte, x^3 tende a -∞ quando x tende a -∞.

Quindi abbiamo una somma di due termini che tendono a infinito con segni opposti. In questo caso, il termine che cresce più velocemente prevale.

Conclusione:

Poiché e^(-x) cresce molto più velocemente di x^3 quando x tende a -∞, il limite è:

lim_(x -> -∞) (e^(-x) + x^3) = +∞

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} (e^{-x} + x^3) = $

forma indeterminata del tipo ∞-∞.

Sappiamo che l'ordine di infinito dell'esponenziale è maggiore di ogni potenza,

$ e^x \gg x^3 $

quindi, possiamo trascurare l'infinito di ordine inferiore

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = + \infty $

più info relativi alle gerarchie di infiniti/infinitesimi sono presenti in https://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica